Бесконечно большие величины и их св-ва
б.б.в - величина для которой |Xn|®¥
(при xn=1/n, n®0, то xn®¥)
Св-ва:
-величина обратная б.б.в. явл. б.м.в.
(1/¥=0; 1/0=¥)
-сумма б.б.в. (с одинаковым знаком)
есть б.б.в.
-произведение 2х б.м.величин=б.м.в.
-частное от деления 2х б.б.в =
неопределенность
Св-ва непрерывных ф-ций:в
в отрезке:
1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на
[a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е.
знаки f(a) и f(b) противоположны,
то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с,
что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши.
2. Если ф-ция y=f(x)
непрерывна на [a,b],
то она ограничена на
этом промежутке.
3. Если ф-ция y=f(x)
непрерывна на [a,b],
то она достигает на этом отрезке min m
и max M (теорема Вейерштрасса).
в точке:
1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х0,
то их сумма, произведение, частное
(при j(х0)¹0) явл-ся ф-циями,
непрерывными в х0
2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х0, и f(x0)>0,
то существует окрестность х0, в которой f(x)>0
3. если y=f(U) непрерывна в U0, а U=j(x)
непрерывна в U0=j(x0), то сложная ф-ция
y=f[j(x)] непрерывна в х0.
Задачи, приводящие к понятию производной.
Определение производной
И ее геометрический смысл.
1. ncp.=DS/Dt, n=lim(DS/Dt), где Dt®0
2. pcp.=Dm/Dl, pT=lim(Dm/Dl), где Dl®0
Dy=f(x+Dx)-f(x), y=f(x)
lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)
Dx®0 Dx®0
Смысл производной - это скорость
изменения ф-ции при изменении
аргумента.
y=f(x+Dx)-f(x), y=f(x). производной в
точке а называется предел отношения
приращения ф-ции к приращению аргумента:
lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx
Dx®0 Dx®0
Вычисление производной: lim(Dy/Dx)=y` Dx®0
1) если y=x, Dy=Dx, y`=x=lim(Dy/Dx)=1.
2) y=x2, Dy=(x+Dx)2-x2=x2+2xDx+Dx2-x2=Dx(2x-Dx),
(x2)`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x
x®0 Dx®0
Геометрический смысл производной.
KN=Dy, MK=Dx
DMNK/tg2=Dy/Dx
вычислим предел левой
и правой части:
limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0
tga0=y`
a®a0
При Dx®0 секущая MN®занять положение
касательной в точке M(tga0=y`, a®a0)
Геометрический смысл производной
заключается в том, что есть tg угла
наклона касательной, проведенной в точке x0.
Основные правила дифференцирования.
Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:
Теорема о произв. сложной функции:
Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x),
то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).
Теорема о произв. обратной функции.
Таблица производных:
Дифференцирование сложных ф-ций:
Производная сложной ф-ции = произведению
производной ф-ции по промежуточному
аргументу и производной самого промежуточного
аргумента по независимой переменной.
y`=f(x)*U`,или yx`=yU`*Ux`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx
Например:
Дифференцирование обратной ф-ции.
y=f(x), то x=j(y) - обратная ф-ция.
Для дифференцируемой ф-ции с производной,
не = 0, производная обратной ф-ции =
обратной величине производной данной
ф-ции, т.е. xy`=1/yx`.
Dy/Dx=1/(Dy/Dx) - возьмем предел от левой
и правой части, учитывая, что предел
частного = частному пределов:
lim(Dy/Dx)=1/(lim(Dy/Dx), т.е. yx`=1/xy
или f`(x)=1/j`(x)
Например:
Производные степенных и