Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Тогда:

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матриц и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

8) Решение линейных систем n-го порядка в матричном виде(в терминах обратной матрицы)

Справедливо следующее утверждение (формулы Крамера).

Если определитель D=det A матрицы системы Ax=b отличен от нуля, то система имеет единственное решение x₁ , x₂ , ..., x_n, определяемое формулами Крамера

x_i =D_i / D, i=1,2, ..., n,

где D_i - определитель матрицы n -го порядка, полученной из матрицы A системы заменой i -го столбца столбцом правых частей b.

ПРИМЕР 2. Вычисление решения системы линейных уравнений по формулам Крамера.

Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x₁ , x₂ , ..., x_n

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам:

x_n =d_n , x_i = d_i -S ⁿ_k=i+1 c_ik x_k , i=n-1, n-2, ...,1.

Матричная запись метода Гаусса.

1. Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы

к ступенчатому виду

с помощью элементарных операций над строками матрицы (под элементарными операциями понимаются следующие операции:

o перестановка строк;

o умножение строки на число, отличное от нуля;

o сложение строки матрицы с другой строкой, умноженной на отличное от нуля чиcло).

2. Обратный ход метода Гаусса: преобразование полученной ступенчатой матрицы к матрице, в первых n столбцах которой содержится единичная матрица
,
последний, (n+1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы.

9) Линейная зависимость(независимость) столбцов матрицы. Ранг матрицы.

Ранг матрицы.

Рассмотрим матрицу А, размером m×n:

Выделим в ней К строк и К столбцов, где К ≤ min(n;m). Из элементов стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов составим определитель К –ого порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделим этот минор. В данный момент – это минор 2 –го порядка. Заметим, что таких миноров можно составить . С – комбинация, где:

;

Пример:

миноров

Наивысший порядок миноров матрицы, отличительных от 0 называется рангом матрицы.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров. Ранг матрицы обозначают r(A), rang(A)

Основные свойства ранга матрицы:

1) при транспонировании матрицы, её ранг не меняется

2) если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то её ранг не изменится

3) ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

10) Теорема о базисном миноре

Столбцы матрицы А, входящие в БМ, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы из БМ.

Доказательство. Предположим противное - система длинных столбцов линейно зависима система коротких столбцов (входящих в длинные) линейно зависима ( по свойству определителя

БМ = 0. Противоречие, т.к. БМ .

Без ограничения общности считаем, что базисный минор расположен в левом верхнем углу. Покажем, что i-ый столбец линейно выражается через столбцы из БМ. i > r (иначе он сам является столбцом из БМ). Рассмотрим минор порядка на один больше, он будет нулевой.

Фиксируем . Раскладываем определитель по j-ой строке:

так как минор порядка (r + 1) - нулевой (где M₀ - БМ . Выражаем a_j,i: Получены коэффициенты α₁,...,α_r. Для любого k: (так как k - любое)

Следствие. Если все столбцы матрицы А линейно выражаются через r столбцов , которые образуют линейно независимую систему, то r_A = r.

Доказательство. Столбцы входящие в максимальную линейно независимую систему (в кол-ве r_A штук) линейно выражаются через . столбцы (в кол-ве r штук) линейно выражаются через максимальную линейно независимую систему в кол-ве .

11) Методы вычисления ранга матрицы и нахождения базисного минора

12) Линейные системы уравнений общего вида. Их элементраные преобразования. Метод гаусса решения таких систем.

Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде:

.

Сформулируем теперь кратко суть метода Гаусса. Полагая, что в системе коэффициент a₁₁ отличен от нуля ( если это не так, то следует на первое место поставить уравнение с отличным от нуля коэффициентом при x₁ и переобозначить коэффициенты), преобразуем систему следующим образом: первое уравнение оставляем без изменения, а из всех остальных уравнений исключаем неизвестную x₁ с помощью эквивалентных преобразований описанным выше способом.

В полученной системе

,

считая, что (что всегда можно получить, переставив уравнения или слагаемые внутри уравнений и переобозначив коэффициенты системы), оставляем без изменений первые два уравнения системы, а из остальных уравнений, используя второе уравнения, с помощью элементарных преобразований исключаем неизвестную x₂. Во вновь полученной системе

при условии оставляем без изменений первые три уравнения, а из всех остальных с помощью третьего уравнения элементарными преобразованиями исключаем неизвестную x₃.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не реализуется один из трех возможных случаев:

1) если в результате приходим к системе, одно из уравнений которой имеет нулевые коэффициенты при всех неизвестных и отличный от нуля свободный член, то исходная система несовместна;

2) если в результате преобразований получаем систему с матрицей коэффициентов треугольного вида, то система совместна и является определенной;

3) если получается система с трапецеидальной матрицей коэффициентов (и при этом не выполняется условие пункта 1), то система совместна и неопределенна.

13) Однородные системы уравнений. Ранг матрицы и существование нетривиального решения.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

Очевидно, что всякая однородная система совместна и имеет нулевое (тривиальное) решение. Поэтому применительно к однородным системам линейных уравнений часто приходится искать ответ на вопрос о существовании ненулевых решений. Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство: Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что не превосходит . В случае система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при .

Следствие 1: Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Доказательство: Если у системы уравнений , то ранг системы не превышает числа уравнений , т.е. . Таким образом, выполняется условие и, значит, система имеет ненулевое решение.

Следствие 2: Однородная система уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Доказательство: Допустим, система линейных однородных уравнений, матрица которой с определителем , имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме , а это значит, что матрица вырожденная, т.е. .

Разрешенные системы линейных уравнений

Переменная называется разрешенной, если какое-нибудь уравнение системы содержит с коэффициентом, равным единице, а во все остальные уравнения системы переменная не входит, т.е. входит с коэффициентом, равным нулю.

Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; - базис этого подпространства.

14) Структура общего решения однородной системы уравнений.

AX=0 (1)

Если Х1 Хn – решение системы, то любая их линейная комбинация , тоже решение этой системы уравнений.

АХ₁ = 0 АХ₂ = 0 AX_n = 0

A( 1 X₁ + 2 X₂ + … + n Xn)= 1 A X₁+ 2 A X₂ +…+ n A X_n = 0

(то что в скобках) – линейная комбинация

Теорема: Пусть r = rank A<n , тогда существует (n-r) линейно независимое решение системы (1). А все остальные решения представляются, как их линейная комбинация.

Определение: Набор линейно-независимых решений называется набором фундаме6нтальных решений системы (1).

АХ=0 Х₁

А – матричный коэффициент Х= ...

А – m x n – матрица Х_n

r = rank A<n

Тогда:

1. Существует (n – r) решение системы (1)

2. Все остальные решения являются линейными коэффициентами (n – r) решений

Определение: Эти решения называются функцией решений

Доказательство:

U₁ U₂ . . . U_n – Столбцы матрицы А

X₁U₁ + x₂U₂ +. . . + x_nU_n = 0

По теореме о базисном миноре столбец U_k, является линейной комбинацией базисных столбцов.

Uk = 1U1 + 2U2 + . . . + _nU_n

U_k – ₁U₁ – ₂U₂ – . . . – _nU_n = 0

Сравним строчку 1, со строкой 1. Числа (- _{1 2} … _r, 0 . . . 1, 0)

1 – k

X_k = - ₁

- ₂

- _r - столбец решений

0 Покажем, что столбцы независимы.

1 Пусть существуют числа: r+1, r+2 . . . n , такие что

0 r+1 Xr+1 + r+2 Xr+2 + . . . + n Xn = 0 (2)

r+1 = 0 => r+1 = r+2 = . . . = n = 0

r+2

Равенство (2) может выполнятся, только если вес = 0, значит столбцы Х_к – линейна независима

Доказательство 2: Пусть z – столбец решений системы (1)

Z = Z₁

Z₂

Z _r+1

. . .

Zn

Y = Z – Z _r+1 X _r+1 – Z _r+2 X _r+2 - . . . – Z_n X_n

Все столбцы Z и Х, решение наших уравнений, значит У тоже является решением уравнений

Y= Y₁

Y₂

Y_n Y₁U₁ +Y₂ U₂ + . . . + Y_r U_r = 0 (3)

0 r

0 r+1

Y1, Y2 – базисные столбцы нашей матрицы, линейно независимы, соотношение (3) выполняется только в 1 случае, когда все y =0 => столбец х=0 => Z = Z_r+1 X_r+1 + Z_r+2 X_r+2 + . . . +Z_nX_n (6)

Строчка (6) означает, что столбец “z” является линейной комбинацией столбцов X

Любое решение системы (1), имеет следующий вид : x = _k X_k

Фундаментальное решение – эта формула описывает общее решение однозначной системы уравнения.

– принимает решения, которые возникали в процедуре Гауса.

15) Неоднородные системы уравнений общего вида. Теорема Кронекера-Капелли

А₁₁ х₁ + а₁₂ x₂ + . . . +a_1n x_1n = b₁

A₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + . . . +a_2n x_2n = b₂

. . . система 1 AX = B

A_n1 x₁ + a_n2 x₂ + . . . + a_mn x_n = b_m

A = {aik} матричный коэффициент

B = (b1 ) - столбцы первых частей

(bm)

Х = (х1) -

(хn)

Теорема Кронекера-Капели.

Для того что бы система уравнений (1) имела решение, необх. и дост.,что б выполнялось:

Rank A = rank A

Где A – расширенная матрица

Система линейных алгебраических уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Выводы из теоремы:

1)если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение

2)если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений

3)ранг основной матрицы не может быть больше ранга расширенной матрицы

16) Строение множества решений неоднородной системы уравнений общего вида.

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений равно сумме общего решения приведенной однородной системы и любого частного решениянеоднородной системы.

Поскольку общее решение линейной системы, записанной в каноническом виде, определяется формулами:

то общее решение неоднородной системы можно записать в векторной форме в виде:

Здесь С₁, С₂, ..., С_n−r−1, С_n−r — произвольные константы, r — ранг матрицы системы.

17) Векторное пространство. Операции над векторами. Линейная независимость

Линейные операции над векторами.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения, вычитания векторов, а так же умножение вектора на число.

Пусть а и b произвольные вектора, возьмем произвольную точку 0 и построим вектор ОА= а и ОВ = b

A

а

a+b

b

O B

В таком случае сумма векторов производится по правилу параллелограмма.

Если начало и конец векторов соответствуют, то сумма векторов производится по правилу треугольника.

b

а a+b

a₂

a₁

a₃

a_n-1

a₁+..+a_n

a_n

Под разностью векторов а и b понимается вектор с, такой что b + c = a

a a – b = a + (-b)

a

c

b

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах а и b, одна направленная диагональ является суммой векторов а и b, а другая разностью векторов. Можно вычитать векторы по правилу: а – b = a + (-b), то есть вычитание векторов заменить сложением вектора а с вектором противоположным вектору b.

Произведение а на скаляр.

Произведением вектора а на скаляр, называется вектор λа, который имеет длину │λ│∙│а│, коллинеарен вектору Q, имеет направление вектору а, если λ › 0 и противоположен по направлению, если λ ‹ 0.

Пример:

а b

2a -3b

Из определения произведения векторов на число следуют свойства этого произведения:

1) если b = λa , то b параллелен а

если а параллелен b и а ≠ 0, то при некотором λ, верно равенство λb = a

2) всегда а = │а│∙ а^-0 ,где а^-0 - орта вектора а .

то есть каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1) а + b = b + a

2) (a + b) + c = a + (b + c)

3) λ₁(λ₂a) = λ₁λ₂a

4) (λ₁+ λ₂)a = λ₁a + λ₂a

5) λ(a + b) = λa + λa

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором, как это делается в обычном алгебре: слагаемые меняют местами, вводят скобки, группируют, выносят за скобки, как скалярные, так и векторные общие множители.

18) Базис пространства. Размерность пространства

19) Связь между различными базисами.

Если в базисе линейный оператор имеет матрицу A, в базисе - матрицу B, а S - матрица перехода от первого базиса ко второму, то

20) Преобразование координат при замене базиса.

1 Пусть матрица С описывает связь между базисами f_s = c_ks l_n

Возьмём вектор U.

Этот вектор можно представить, как линейную комбинацию векторов { l_1, l₂…l_n}

U = k l_n

координата U в базисе {e } -

2. Линейная комбинация {f1, f2 … fn}

U = _s f_s

Вопрос: как связаны координаты?

{ 1 2… n} и коэфицент {n1…nr}?

Утверждение: координаты, в данном базисе определяются однозначно.

Доказательство: Пусть не так, u= 1 l_k = M_k l_k

(M_k – l_k) l_k = 0

M_k = k _k

U= _s f_s = _s ( c_{ks l}k_{) =} l_k ( l_ks n_s)=

Координаты определяются однозначно => = l_ns n_s

Эта формула описывает связь между координатами.

21) Линейные операторы и их матричная форма.

22) Действия с линейными операторами.

Для линейных операторов, как и для всех других новых объектов, с которыми мы познакомились в курсе линейной алгебры, можно определить линейные операции — операции сложения и умножения на число.

Определение. Суммой операторов Aи Bназывается оператор, определенный в Rⁿ на и действующий следующим образом: .

Определение. Произведением оператора Aна числоназывается оператор, определенный в Rⁿ на и действующий следующим образом:

Определение. Произведением AB операторов Aи B называется оператор, определенный в Rⁿ на и действующий следующим образом:

На лекции доказано, что сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на действительное число и произведение линейных операторов — линейный оператор.

Нетрудно доказать следующее утверждение: матрица суммы операторов в некоторм базисе равна сумме матриц слагаемых в том же базие, матрица оператора, являющегося произведением оператора на число — произведению матрицы оператора на число, а матрица произведения операторов — произведение матриц сомножителей.

23) Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

Так как матрица линейного оператора, очевидно, зависит от выбранного базиса, то возникает вопрос: как изменится матрица оператора при переходе к другому базису? Выясним это.

Замечание. Квадратные матрицы и , для которых найдется невырожденная матрица T такая, что имеет место равенство , называются подобными

24) Собственные числа и собственные вектора линейного оператора

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если ( для комплексного ), такое, что Число называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X, то или

Собственные числа линейного оператора - корни характеристического уравнения , где - матрица оператора f, - символ Кронекера.

Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где - соответствующие собственные значения.

25) Переход к базису собственных векторов, когда все собственные числа различны.

26) Квадратичные формы. Приведение к диагональному виду

Метод Лагранжа

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть

есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

1. хотя бы один из коэффициентов a_ii при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

2. все коэффициенты , но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет ).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

, где , а через обозначены все остальные слагаемые. представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных .С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что Второй случай заменой переменных сводится к первому.

27) Инерция квадратичных форм

Пусть k(x) — квадратичная форма, заданная в пространстве арифметических векторов Rn.

В пространстве Rn существует канонический базис квадратичной формы, базис, в котором матрица квадратичной формы является диагональной.

В этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид

k(x) = λ₁x₁² + λ₂x₂² + ... + λ_nx_n².

Числа λ₁, λ₂, ... , λ_n — канонические коэффициенты квадратичной формы.

Закон инерции квадратичных форм гласит: число положительных, отрицательных и нулевых канонических коэфициентов квадратичной формы не зависит от преобразования, с помощью которого квадатичная форма приводится к каноническому виду.

Число положительных канонических коэфициентов квадратичной формы называется положительным индексом инерции квадратичной формы. Число отрицательных канонических коэфициентов квадратичной формы называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы. Разность между положительным и отрицательным индексами квадратичной формы называется сигнатурой квадратичной формы. Число ненулевых канонических коэффициентов называется рангом квадратичной формы.

28) Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Проекция вектора на ось. Угол между векторами.

Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

(1)

где φ – угол между векторами а и b

Формуле (1) можно придать иной вид, так как │а│cosφ = пр_ba и │b│cosφ = пр_аb , то получим:

(2)

а

φ

b

То есть Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженного на проекцию другого на ось.

Свойства скалярного произведения:

1) Скалярное произведение обладает переместительным свойством.

так как │а││b│= │b││a│, cos(a,b) = cos(b,a), то ab = ba

2)Скалярное произведение обладает сочетательным свойством, относительно скалярного множителя.

(λa)b = λ (ba)

(λa)b = │b│пр_bλa = λ│b│пр_ba = λ (ab)

3) Скалярное произведение обладает распределительным свойством:

a(b + с) = ab + ac

a(b + c) = │a│пр_а(b+c) = │a│(пр_ab+пр_ac) = │a│пр_ab+│a│пр_aс = ab + ac

4) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

а² = │а│²

а² = а∙а = │а│∙│а│cos1 = │а│∙│а│= │a│²

В частности i² = j² = k² = 1

Если а возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначаль-

ный вектор, а его модуль.

Пример:

Найти длину вектора с=3а-4b, если │а│=2;│b│=3; (a,b)=π\3

Решение:

│с│=

5)Если вектора a и b ненулевые, взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.

Следовательно верно и обратное утверждение: если произведение векторов а и b равно 0, значит вектора взаимно перпендикулярны.

В частности: ij = jk = ki = 0

Выражение скалярного произведения через координаты.

Пусть заданы два вектора а = а_хi + а_yj + а_zk и b = b_хi + b_yj + b_zk. Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их, как многочлены и пользуясь таблицей скалярных произведений векторов i, j, k

	i	j	k
i
J
k

a∙b = (а_хi + а_yj + а_zk)( b_хi + b_yj + b_zk)= а_хb_х + а_yb_y + а_zb_z

То есть a∙b = а_хb_х + а_yb_y + а_zb_z

Пример: доказать что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(

-4;-4;4), В(-3;2;2), С(2;5;1) и D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.

Решение:

Составим вектора АС и ВD, лежащие на диагоналях данного четырехугольника, имеем:

АС(2-(-4);5-(-4);1-4)=(6;9;3) и BD(6;-4;0)

Найдем скалярное произведение этих векторов:

АС∙BD = 6∙6+9(-4)+0(-3) = 36-36 = 0

Следовательно вектор АС перпендикулярен вектору BD, значит диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

Проекция вектора на ось.

Пусть в пространстве задана ось l α

M

M₁ L

Проекции точки М на ось l называется основание перпендикуляра ММ₁ опущенного из точки на ось. Точка М₁ – есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси. Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М.

Пусть АВ - произвольный вектор. │АВ│≠ 0. Обозначим через А₁ и В₁ проекции на ось l соответственно начало А и конец В вектора АВ и рассмотрим вектор А₁В₁

Проекции вектора АВ на ось l называется положительное число │А₁В₁│, если вектор А₁В₁ и ось l одинаковы направлены, и отрицательное число - │А₁В₁│, если вектор А₁В₁ и ось l противоположно направлены.

А В

А₁ В₁ l (и соотв

наоборот)

Если точки А₁ и В₁ совпадают (│А₁В₁│=0), то проекцией вектора АВ=0. Проекция вектора АВ на ось l обозначается: пр_lАВ. Если АВ = 0 или АВ перпендикулярен к оси l, то пр_lАВ=0.

Угол φ между вектором а и осью l изображен на рисунке:

A

φ l

Рассмотрим некоторые основные свойства проекции:

1) Проекция вектора а на ось l равна произведению модуля вектора а на cosφ

пр_l а= │а│∙ cosφ

Если

Если

Если

Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует острый (тупой) угол и равна 0, если этот угол прямой.

Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и туже ось равны между собой.

2) Проекция суммы нескольких векторов на одну и туже ось равна сумме их проекций на эту ось. d = a + b + c ; пр_l(a+b+c) = пр_la + пр_lb + пр_lc

b

a с

d

a b l

d c

3) При умножении вектора а на число λ, его проекция на ось также умножается на это число: пр_l(λa) = λ пр_la

при λ›0 имеем: пр_l(λa) = │λa │cosφ = λ│a│ cosφ = λ пр_la

при λ‹0 имеем пр_l(λa) = │λa │cos(π-φ) = -λ│a│(-cosφ) = λаcosφ = λ пр_la

свойство спра ведливо при λ = 0

Угол между векторами.

Определение угла φ между векторами а (а_х; а_y; а_z) и b(b_х; b_y; b_z)

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторо a и b:

а_хb_х + а_yb_y + а_zb_z = 0

29) Векторное произведение, смешанное произведение векторов. Их геометрический смысл.

Векторное произведение векторов и его свойства.

Векторным произведением вектора а на b называется вектор с, который

1) перпендикулярен векторам а и b

2) имеет длину численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b.

С │c│=│a││b│sinφ

B S

φ

b

3)Вектора a,b,c образуют правую тройку

а × b; [a,b]

Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие отношения между ортами i, j,k

i × j = k ; j × k = i ; k × i = j

Докажем, например, что i × j = k:

1)k перпендикулярен к i; k перпендикулярен к j

2)│k│=1, но │i × j │=│i│×│j│sin90⁰ = 1

3) вектора i, j, k образуют правую тройку

Три некомпланарных вектора a, b, с образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b.

правая тройка левая тройка

с с

а b а b

Свойства векторного произведения:

1) при перестановке сомножителей, векторное произведение меняет знак.

a×b a×b = - b×a

S Вектора a×b и b×a коллинеарны, имеют одинаковые модули (S

параллелограмма остается неизменной), но противоположно

направлены.

b×a

2) Векторное произведение обладает сочетательным свойством, относительно скалярного множителя.

λ(a×b) = (λ a)×b = (a×λ b)

Доказательство:

Пусть λ›0 ; λ(a×b) перпендикулярен а и b, вектор (λ a)×b также перпендикулярен а и b. Вектора а и λ a лежат в одной плоскости. Значит вектора λ(a×b) и (λ a)×b коллинеарны. Очевидно, что их направления совпадают, имеют одинаковую длину.

│λ(a×b) │= λ│a×b│=λ│а││b│sin(a,b)

│(λ a)×b│= │λ a││b│sin(λ a,b) = λ│a││b│sin(a,b)

Поэтому λ(a×b) = λ a×b

Аналогично доказывается при λ‹0

3) Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно ненулевому вектору, то есть:

а || b <=> a×