Обратная матрица и ее вычисление. Матричные уравнения
Определение 1.6.1. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.
Теорема 1.6.1. Определитель произведения матриц равен произведению определителей. Для двух матриц: .
Следствие 1.6.1. Произведение любых невырожденных матриц само будет невырожденной матрицей.
Определение 1.6.2. Обратной к квадратной матрице называется матрица , которая удовлетворяет условию
.(1.6.1)
Теорема 1.6.2. Матрица A тогда и только тогда имеет обратную матрицу, когда она невырожденная.
Доказательство.
Необходимость.Пусть матрица A имеет обратную матрицу , тогда и .По теореме 1.6.1 .Так как , имеем . Значит и , т. е. матрицы A и невырожденные, а
Достаточность.Для матрицы ; , составим матрицу из алгебраических дополнений и затем транспонируем ее. Получившуюся в результате матрицу обозначим и назовем присоединенной (или союзной) к A. Иными словами,
где –алгебраическое дополнениеэлемента .
Вычисляя произведения и матриц, с учетом теоремы 1.3.1 получим
.
Разделив последнее соотношение на величину , имеем:
откуда c учетом равенств (1.6.1), (1.2.4), найдем: . Мы получили формулу нахождения обратной матрицы и, следовательно, доказали ее существование.
Таким образом, формула для вычисления обратной матрицы имеет вид:
(1.6.2)
Замечание 1.6.1. Для каждой невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица .
Пример 1.6.1.
Дано
Найти .
Решение.
Следовательно, матрица А невырожденная и существует.
Найдем алгебраические дополнения элементов данной матрицы:
Подставляя полученное в формулу (1.6.2), находим
Проверка:
.
Замечание 1.6.1.Существует еще один способ нахождения обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Этот способ состоит в следующем: составляется матрица размера , при помощи приписывания к матрице A справа единичной матрицы. Элементарными преобразованиями строк преобразуют полученную матрицу так, чтобы обратить ее левую половину в единичную матрицу. Тогда справа получится матрица .
Пример 1.6.2. Для матрицы из примера 1.6.1 найти обратную матрицу при помощи элементарных преобразований.
Решение.
Свойства обратных матриц:
1. .
Непосредственно следует из равенства 1.6.1.
2. .
Доказательство.
. Следовательно, матрицы и обратные по отношению друг к другу, т. е. .
3. .
Доказательство.
Из соотношения 1.6.1: . По свойству 4 операции транспонирования (см. §2) .Следовательно, матрицы и взаимообратные, т. е. .
Определение 1.6.2. Простейшими матричными уравнениями будем называть уравнения следующих трех типов:
, , , (1.6.3)
где , , – некоторые числовые матрицы, а – неизвестная матрица, которую нужно найти.
Под решением матричного уравнения будем понимать матрицу X, которая обращает матричное уравнение в тождество.
Искать решение матричных уравнений будем с помощью обратных матриц в зависимости от типа уравнения следующими тремя способами:
1) Если , то домножая обе части уравнения на слева, получим .
2) Если , то домножая обе части уравнения на справа, получим .
3) Если и , то домножая уравнение на слева и на справа, получим
.
Пример 1.6.3. Решить матричные уравнения:
a) b) c)
Решение:
a)Матричное уравнение можно переписать в виде: , где
Получили уравнение вида (1.6. ), решение которого – матрица .
Найдем матрицу :
существует;
Таким образом,
b) Матричное уравнение можно переписать в виде: , где
Получили уравнение вида (1.6. ), решение которого ищется в виде: . Найдем матрицу :
существует;
c) Матричное уравнение можно переписать в виде (1.6. ): , где
Решение данного уравнения ищется в виде: . Найдем матрицы и :
существует;
Окончательно, находим
Замечание 1.6.2. В случае, когда и , приведенные способы решений применять нельзя. В этом случае неизвестную матрицу X находят, сводя матричное уравнение к системе линейных уравнений.
Пример 1.6.4. Решить матричное уравнение:
Решение:
Так как , то решать матричное уравнение с помощью обратной матрицы нельзя. Пусть матрица X состоит из элементов , тогда по правилу умножения матриц (1.2.3) имеем:
Используя определение 1.1.2 равенства матриц, составим систему:
Таким образом, матрица X имеет вид: .
Замечание 1.6.3. Более подробно решение систем линейных уравнений мы будем рассматривать в следующей главе.
* Пьер Ф. Саррюс (1798–1858) – французский математик. В 1833 году сформулировал правило для вычисления определителя 3-го порядка, основанное на приписывании к матрице определителя строк или столбцов.