Предел числовой последовательности

Определение 1: Число а называется пределом числовой последовательностью {х_n}, если для любого положительного числа e существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n-a|<e. Последовательность {х_n} – называется сходящейся. .

Определение 2: Последовательность {х_n} не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Из определения 1 предела следует, что каким бы малым мы ни взяли число e>0, начиная с некоторого номера N все элементы последовательности будут отличаться от числа а меньше, чем на e, то есть элементы последовательности неограниченно приближаются к числу а при неограниченном возрастании номера n.

Определение 3: Число а не является пределом числовой последовательности {х_n}, если существует положительное число e, что для любого номера N найдётся номер n>N такой, что выполняется неравенство |x_n-a|³e.

Из |x_n-a|<e Þ -e<x_n-a<e Þ а-e<x_n<а+e, то есть элемент x_n находится в e-окрестности точки а.

Следствие 1: Пусть {х_n} сходится и имеет своим пределом некоторое число а.

Тогда разность {х_n-а}={a_n} является бесконечно малой последовательностью, так как для любого e>0 существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n-a|=|a_n|<e.

Следствие 2: Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом 0.

Следствие 3: Любой элемент x_n сходящейся последовательности, имеющей пределом число а можно представить в виде: x_n=а+a_n, где a_n элемент бесконечно малой последовательности {a_n}. Справедливо и обратное.

Определение 4: Число а называется пределом числовой последовательностью {х_n}, если для любой e-окрестности точки а существует номер N такой, что все элементы x_n с номерами n>N находятся в этой e-окрестности.

Бесконечно большие последовательности имеют бесконечный предел .

Лекция 7

Предел функции

Основные теоремы о пределах

Два замечательных предела

Предел функции.

Определение 1 (по Гейне): Число А называется пределом функции f(х) в точке х=х₀, если для любой сходящейся к х₀ последовательности значений аргумента х, отличных от x₀ соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А .

Функция может иметь в точке только один предел.

Определение 2 (по Коши): Число А называется пределом функции f(х) в точке х=х₀, если для любого числа e>0 существует число d>0, такое, что для всех хÎХ, х¹х₀, удовлетворяющих неравенству |x-х₀|<d, выполняется неравенство |f(x)-A|<e.

Теорема 1: Оба определения предела функции эквивалентны.

Определение 3 (по Гейне): Число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке х=х₀, если для любой сходящейся к х₀ последовательности значений аргумента элементы которой х_n больше (меньше) х₀, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А . Определения односторонних пределов.

Определение 4 (по Коши): Число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке х=х₀, если для любого числа e>0 существует число d>0, такое, что для всех хÎХ, х¹х₀, удовлетворяющих неравенству х₀<x<х₀+d (х₀+d<x<х₀), выполняется неравенство |f(x)-A|<e. Определения односторонних пределов.

Теорема 2: Функция f(х) имеет в точке х=х₀ предел тогда и только тогда, когда в этой точке существует как правый, так и левый пределы и они равны.

Определение 5: Число А называется пределом функции f(х) при х®+¥ (х®-¥), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы х_n которой положительны (отрицательны) соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А .

Если пределы функции при х®+¥ и при х®-¥ равны , то пишут