Бесконечно большие и бесконечно малые ф-и

О. Ф-я наз бесконечно малой при , если ; . Н.: явл. бесконечно малой при .

Св-ва бесконечно малых ф-ий:

если ф-я имеет предел при , то можно принять , где – бесконечно малая при

если ф-я представляется в виде , где –бесконечно малая при , то предел при будет равен

сумма конечного числа бесконечно малых ф-ий при будет бесконечно малой ф-ей при

произведение двух бесконечно малых ф-ий при есть бесконечно малая при .

произведение бесконечно малой ф-и при на ограниченную ф-ю есть бесконечно малая ф-я, при

произведение бесконечно малой ф-и при на постоянную есть бесконечно малая при .

О.Ф-я наз бесконечно большой при , если >0 можно найти такое число d>0, что при " 0< <dÞ > .

Бесконечно большая ф-я при не имеет предела. Условно говорят, что и пишут .

Вопрос №18. Основные теоремы о пределах ф-ии.

Замечательные пределы.

Т. Ф-я не может иметь более 1-го предела при .

Т. Если каждая из ф-ий и имеет предел при , то их сумма, разность, произведение также имеют пределы. Причем предел при

Если кроме того , то сущ-ет предел частного причем предел частного равен частному пределов.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Следствие 2. Если , то

Т. Пусть ф-и определены в некот окрестности точки . Если для из этой окрестности вып-тся нер-во и ф-и (1), (2) имеют одинак. пределы при , то ф. (3) имеет тот же предел при .

Т. Пусть ф. определена в нек-ром промежутке, содержащем и если при ф-я имеет «+»(«-«) предел, то найдется такая окрестность точки , что для из этой окрестности ф.- «+» («-«).

Т. Если ф. и определены в нек-ром промежутке, содержащем точку и для из этого промежутка кроме вып-тся нер-во < причем ф. и М имеют пределы при , тогда .

О. Отношение двух ф. есть неопределенность вида (или ) если и бескон. малые (беск. большие). В этом случае о пределе частного нельзя ничего определенного сказать, он может быть =0, = постоянной или =¥. Раскрыть эти неопределенности значит вычислить предел если он сущ-ет или док-ть, что он не сущ-ет.

1-метод раскрытия неопределенности-сокращение общего множителя.

2-метод: деление на степень .

разделим на

3-метод: первый замечательный предел.

~ ; ~

4-метод: 2-ой замечательный предел.

Вопрос №20.Производная и дифференциал ф-ции. Правило дифференцирования.

Производной в точке наз отношения приращения ф. к приращению аргумента если этот предел сущ-ет.

Геом. смысл производной: угловой коэф. касательной в точке = значению производной в этой точке.

О. Ф. наз дифференцируемой в точке , если она имеет в этой точке конечную производную. Если ф. дифференцируема в каждой точке интервала , то она наз дифференцируемой на .

Если ф. дифференцируема в т. , то , где –приращение ф. , -приращение аргумента. А-число не зависящее от ; -бесконечно малое, при

Дифференциалом ф. в точке наз линейная часть ур-ния

Дифференциалом независимой переменной наз приращение этой переменной, т.е. . Т.о.

Т. Если ф. и диф. в т. , то их сумма, разность, произведение и частное также диф-мы в этой точке. Причем: , , .

Производная 1-го порядка: функция

Производная второго порядка- производная от

Дифференциал –ного порядка

Вопрос №21. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма.

ф-я определена на и в нек-рой точке этого интервала имеет наиб. или наим. значение, тогда если в этой точке определена производная, то она =0, т.е.

Если произв. в точке =0, будет ли в этой точке наиб. или наим. значение.

Пр. в точке 0 производная =0.

Теорема Ролля.

Пусть на отрезке определена ф-я , причем:

непрерывна на

дифференцируема на

Тогда сущ-ет точка , что

Теорема Лагранжа.

Пусть на определена ф-я причем:

непрерывна на

диффер. на

Тогда сущ-ет точка С, принадлежащ. , такая, что

Теорема Коши.

Пусть и непрерывны на и дифференцируемы на и пусть кроме того , тогда сущ-ет такая, что . Если в кач-ве взять ф-ю. = , то получим т. Лагранжа. Если т. Лагранжа положить , то получим т. Коши.

Теорема Лапиталля-Бернулли.

Пусть и определены и дифф. на содержащим точку за исключением быть может самой точки . Пусть предел при и на , тогда если сущ-ет конечный предел, при, то сущ-ет и причем они равны.

Вопрос №22. Исследование поведения ф-и и построение её графика.

Признак ­ и ¯.

О. Ф-я на наз : 1)постоянной, если , где для ;2)возрастающей, если для любых двух значений , таких что < вып-тся нер-во < ; 3)убывающей, если из < следует >

Достаточное условие ­ и ¯ функции.

Если в данном промежутке «+», то ф-я ­ в этом промежутке, если «-«, то ф-я ¯. Если же на промежутке , то ф-я постоянна на этом промежутке.

Экстремумы ф-и.

Рассм. нек-рую ф-ю , определенную на . Пусть , d–нек-рое «+» число, d-окрестностью в точке будем наз-ть интервал и обозначать .

О. Если можно указать такую d–окрестность , принадлежащую , что для всех вып-тся > , то наз-ют максимумом ф-и и обозначают . Если же вып-тся нер-во , то минимумом –

и наз-ют экстремумом. Значение аргумента, при к-ром достигается экстремум, наз-ют точкой экстремума.

Т. (необходимое условие экстремума). В точке экстремума дифф. ф-и ее производная =0.

Если производная =0, то отсюда не следует, что -точка экстремума.

О. Точка, в к-рой производная =0 наз стационарной. Точки, в к-рых произв. =0, а также точки, в к-рых производная не существует, либо =¥ наз-ют критическими точками. Т.о. точки экстремума следует искать среди критических точек.

Т.(достаточное условие экстремума). Пусть ф-я дифференцируема в нек-рой окрестности . Если в точке производная=0 и меняет знак при переходе через , то –точка экстремума, причем : 1)если произв. меняет знак с – на + это точка минимума; 2)с + на – точка максимума.

Т.Если в точке 1-ая произв. дифф-мая. в нек-рой окрестности ф-и =0, а 2-ая произв. отлична от нуля, то явл. точкой экстремума. Причем - если >0, и - если <0.

Направление выпуклости и точки перегиба.

О. График наз выпуклым вниз в данном промежутке, если он целеком расположен выше касательной в его производной точке и выпуклым вверх-если расположен ниже касательной.

Т. Достаточный признак выпуклости графика ф-и.

Если ф-и –«+» в данном промежутке, то график ф. явл. выпуклым вниз в данном промежутке. Если же –«-«, то-выпуклым вверх.

О. Точка, в к-рой меняется направление выпуклости наз точкой перегиба.

Т.(достаточный признак существования точки перегиба).

Если в точке =0 и меняет знак при переходе через нее, то –точка перегиба.

Асимптоты.

Если график ф-и сколь угодно близко приближается к прямой, то такую прямую наз-ют асимптотой.

О. Прямая наз вертикальной асимптотой графика ф-и , если хотя бы одно из предельных значений стремится к ¥.

О.Предположим, что определена при сколь угодно больших по модулю значениях аргумента (будем рассм. «+» значения). Прямая наз наклонной асимптотой графика ф-и , если эта ф-я представлена в виде , где –бесконечно малая, то ®0, при .

Т. (необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты). График ф-и имеет при наклонную асимптоту , если сущ-ют 2 конечных предела. и

Исследование ф-и и построение графика:

Найти область определения (Д)

обл. значений

четность и периодичность

точки пересечения с осями координат

изучить поведение ф-и при стремлении аргумента к концам обл. определения.

точки экстремума и промежутки ­ и ¯

промежутки выпуклости ф-ий, точки перегиба

асимптоты графика

построить график ф-и.

О. Ф-я наз четной, если: 1) ; 2)

О. Ф-я наз периодической, если сущ-ет такое Т>0, что 1) ; 2)

Вопрос №30.Неопределенный интеграл, его основные св-ва и м-ды интегрирования.

Понятие о первообразной функции.

определенная на интервале АВ, наз первообразной данной функции f(x) в этом промежутке, если для любого Є(a,b)

F(x) =sin x, F(x) =ln x, f(x) =cos x; f(x) = .

Теорема: если f(x) - первообр., то множ-во также явл. первообр.

Неопределенный интеграл и его св-ва.

О.Если ф-я F(x)-первообразная ф-и f(x), то множ-во всех первообр. наз-ют неопределенным интегралом от f(x) и обозначают

f(x)- подинтегр ф-я, f(x) dx – подинтегр выражение; операция нахождения неопр. интеграла наз интегрированием.

Св-ва:

Производная неопр. интеграла = подинтегральной ф-и. Дифференциал от неопр. интеграла = подинтегральному выражению.

Неопр. интегр от диф-ла некот ф-и = этой ф-и с точностью до постоянной.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

,

Если ф-и f(x) и g(x) имеют первообр., то ф-я f(x)+ g(x) также имеет первообр.Причём

Таблица неопр. интегралов:

;