К государственному экзамену по направлению

050200 «Физико-математическое образование»

1. Основы аксиоматической теории натуральных чисел. Свойства сложения и умножения натуральных чисел. Отношение порядка. Теоремы о «наибольшем» и «наименьшем» натуральном числе. Методы математической индукции.
2. Свойства кольца целых чисел. Упорядоченность целых чисел. Теоремы о «наибольшем» и «наименьшем» целом числе. Методы математической индукции для целых чисел.
3. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Группа корней n-ой степени из единицы.
4. Линейное (векторное) пространство над полем. Примеры. Подпространства, простейшие свойства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность векторного пространства.
5. Евклидовы линейные пространства. Свойства скалярного произведения. Ортогональный и ортонормированный базисы.
6. Линейные операторы векторного пространства. Матрица линейного оператора и ее изменение при переходе к другому базису. Ядро и образ линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
7. Группа, примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы.
8. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Поле. Примеры полей. Простейшие свойства. Минимальность поля рациональных чисел.
9. Теорема о делении с остатком для целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное целых чисел, их свойства и способы нахождения.
10. Основные свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов. Кольцо классов вычетов по модулю. Теоремы Эйлера и Ферма.
11. Сравнения с неизвестными, число решений сравнения. Линейное сравнение с одним неизвестным (критерий разрешимости, способы решения).
12. Наибольший общий делитель двух многочленов, его свойства и способы нахождения. Многочлены над полем. Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов.
13. Поле разложение многочлена. Соотношение между корнями многочлена и коэффициентами (теорема Виета). Многочлены от нескольких переменных. Основная теорема о симметрических многочленах и следствия из нее.
14. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их приложение к решению задач.
15. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).
16. Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы.
17. Движения плоскости и их свойства. Группа движений плоскости. Теорема существования и единственности движения. Формулы движений. Классификация движений плоскости.
18. Преобразования подобия плоскости, их свойства. Формулы подобия. Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы.
19. Аффинные преобразования плоскости, их свойства и способы задания. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы.
20. Проективная плоскость и ее модели. Проективные преобразования, их свойства. Группа проективных преобразований. Формулы проективных преобразований.
21. Понятие параллельности в геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.
22. Предел числовой последовательности, Единственность предела. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности.
23. Отображения множеств (функции). Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства непрерывных функций на отрезке (доказать одну теорему).
24. Дифференцируемые функции одной или нескольких действительных переменных. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования.
25. Условия постоянства и монотонности функции на промежутке. Экстремумы. Условия выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
26. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование подстановкой и по частям. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
27. Понятие площади плоской фигуры. Приложения определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры и объема тел вращения.
28. Числовые ряды. Признаки сравнения Даламбера и Коши для положительных рядов. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
29. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения.

30. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура их общих решений.

Примерные вопросы по методике преподавания математики