Линейные операции над векторами

1. Умножение вектора на число. Произведением вектора на числоназывается вектор , который имеет длину , коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если , и противоположное направление, если .

Например, если дан вектор , то векторы и будут иметь вид:

2. Сложение векторов. Пусть даны произвольные векторы и .Сумму векторов можно построить по правилу треугольника и по правилу параллелограмма.

3. Вычитание векторов можно заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору .

4. Свойства линейных операций.

1)	- переместительное свойство сложения;
2)	- сочетательное свойство сложения;
3)	- сочетательное свойство умножения на число;
4)	- распределительное свойство относительно суммы чисел;
5)	- распределительное свойство относительно суммы векторов.

Разложение вектора по базису. Координаты вектора

Модуль вектора. Направляющие косинусы

Пусть - единичные векторы осей координат, т.е. и каждый из них одинаково направлен с координатными осями. Тройка векторов называется координатным базисом.

Теорема. Любой вектор пространства можно разложить по базису ,т.е. представить в виде , где - некоторые числа (буквы:- «мю», - «ню»).

Это разложение единственное.

q Доказательство. Приложим вектор к началу координат, обозначим его конец .Проведем через точку плоскости, перпендикулярные осям координат. Пусть , , -точки пересечения этих плоскостей с осями координат.

Существует единственная тройка чисел , , таких, что

n.

Формула называется разложением вектора по координатному базису.

Числа , , -называются координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси. В символическом виде записывают .

Например, если ,то его координаты .

Зная координаты вектора , длину его можно найти по формуле

Если известны координаты точек и , то координаты вектора равны: .

Пусть углы вектора с осями , , соответственно равны , , . Числа , , называются направляющими косинусами вектора .

; ; ;

- основное свойство направляющих косинусов вектора.

Действия над векторами, заданными координатами

Пусть векторы и заданы своими координатами.

При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются), т.е.

При умножении вектора на число координаты его умножаются на это число, т.е. .

Если вектор коллинеарен вектору , то можно записать , где - некоторое число, т.е. , , . Отсюда, , , или - условие коллинеарности векторов.