Функции нескольких переменных

II семестр

1. Определенный интеграл

Разбиения: измельчение, объединение, диаметр. Интегральные суммы. Определенный интеграл Римана. Верхние и нижние суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу (+). Верхний и нижний интеграл Дарбу (Римана). Критерий интегрируемости (+). Лемма Дарбу (+).

Интегрируемость непрерывной функции (+), кусочно-непрерывной функции (+), ограниченной монотонной функции (+). Пример ограниченной на сегменте, но неинтегрируемой по Риману функции (+). Неинтегрируемость неограниченных функций (-).

Основные свойства интеграла Римана: линейность (+), интегрируемость произведения (+), аддитивность по промежутку (+), интегрируемость композиции (-); интегрирование неравенства (+), оценка абсолютного значения интеграла (+), теорема о среднем (+).

Интеграл с переменным верхним пределом. Существование непрерывной первообразной у интегрируемой функции (+). Формула Ньютона-Лейбница (+). Формулы замены переменной (+) и интегрирования по частям (+) в определённом интеграле.

Понятие несобственного интеграла первого и второго рода. Примеры вычисления несобственных интегралов исходя из определения.

Геометрические приложения определенного интеграла в прямоугольных декартовых координатах: площадь криволинейной трапеции (+); формула длины дуги кривой (+); объем простых тел с известным поперечным сечением (+) (следствия и примеры: объем тел вращения (+), объем цилиндра, конуса, шара).

Элементы линейной алгебры

Системы линейных уравнений (СЛУ). Совместность и определенность. Однородные СЛУ. Эквивалентность СЛУ при элементарных преобразованиях (+). Приведение СЛУ к ступенчатому виду (+), количество решений.

Векторное пространство (ВП). Примеры ВП. Арифметическое и геометрическое векторные пространства. Линейная комбинация векторов, линейная оболочка системы векторов. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Леммы о линейной зависимости и независимости (+). Максимальные линейно независимые системы векторов в арифметических векторных пространствах (+). Эквивалентные системы векторов. Лемма о двух системах векторов (+). База системы векторов, ранг системы векторов. Базис линейного пространства, размерность линейного пространства.

Подпространство векторного пространства, достаточные условия (+). Сумма и пересечение подпространств (+). Теорема о размерности суммы подпространств (+). Прямая сумма подпространств. Признаки прямой суммы (+). Примеры.

Скалярное произведение, аксиоматика и примеры. Евклидовы и унитарные пространства. Длина вектора. Неравенство Коши-Буняковского (+), неравенство треугольника (+). Угол между векторами. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Линейная независимость ортогональной системы векторов (+). Процесс ортогонализации системы векторов (+). Скалярное произведение векторов в ортонормированных базисах (+). Ортогональные подпространства. Ортогональное дополнение подпространства, его свойства (+). Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

Векторное пространство матриц. Умножение матриц. Ассоциативность и некоммутативность умножения матриц, законы дистрибутивности (+). Обратная матрица, её существование и единственность (+). Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований (+). Строчечный и столбцовый ранги матрицы. Теорема о ранге (+).

Матричная запись СЛУ. Теорема Кронекера-Капелли (+). Алгоритм решения произвольной СЛУ: ранг системы, свободные переменные, общее решение в координатной и векторной формах (+). Подпространство решений однородной СЛУ, его размерность, фундаментальная система решений (+). Связь решений однородной и неоднородной СЛУ (+).

Определение линейного оператора (ЛО). Матрица ЛО. Взаимно-однозначное соответствие между ЛО и его матрицей. Операции над ЛО (+). Матрица композиции линейных операторов (+). Связь между базисами ВП, матрица перехода, её свойства (+). Преобразование координат вектора. Подобные матрицы, связь между матрицами ЛО в разных базисах (+).

Подстановки. Инверсии, чётные и нечётные подстановки. Понятие определителя, его простейшие свойства (+). Алгебраическое дополнение элемента матрицы, разложение определителя по строке (столбцу) (+). Правило Крамера для нахождения корней СЛУ, обратной матрицы (+). Определитель произведения матриц (+).

Собственные векторы и собственные значения ЛО. Характеристический многочлен матрицы, независимость собственных значений ЛО от выбора базиса (+). Линейная независимость системы собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям (+).

Функции нескольких переменных

ɛ-окрестность вR^m. Открытые и замкнутые множества. Окрестность точки в R^m. Ограниченные множества. Понятие функции нескольких переменных. Последовательность точек пространства R^m. Предел последовательности в R^m. Теорема Больцано-Вейерштрасса (+). Предел функции нескольких переменных. Арифметика пределов. Непрерывность функции нескольких переменных. Лемма об устойчивости знака непрерывной функции (+). Первая и вторая теоремы Вейерштрасса (+).

Частные производные функции нескольких переменных. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Существование частных производных дифференцируемой функции (+). Непрерывность дифференцируемой функции (+). Касательная плоскость (КП) и нормаль к поверхности, условие существования КП (+). Дифференцируемость функции, обладающей непрерывными частными производными (+).

Дифференциал функции нескольких переменных. Дифференцирование сложной функции (+). Инвариантность формы первого дифференциала (+). Правила дифференцирования (+).

Производная по направлению и градиент функции, их свойства (+).

Частные производные высших порядков. Равенство смешанных производных (+). Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных (+).

Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия (+). Достаточные условия локального экстремума функции двух переменных (+). Схема решения задач на условный экстремум для функций двух переменных (-).

(+): данное утверждение или свойство приводилось на лекции с доказательством.

(-): приводилась только формулировка утверждения (то есть на экзамене будет спрашиваться без док-ва).

Список основной литературы (глава 1 и 3):

1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ.

2. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Математический анализ.

3. Кудрявцев В.Л., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики.

4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II.

5. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов.

Список основной литературы (глава 2):

1. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения.

2. Кострикин А.И. Введение в алгебру.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.

4. Пухначева Т.П. Элементы линейной алгебры и конечной математики.

5. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа. Учебное пособие для втузов под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича.

6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.