Умножение на число. Сложение и вычитание

СОДЕРЖАНИЕ

Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Матрицы. Виды матриц 3

§ 2. Действия над матрицами.................................................................................................... 5

2.1. Умножение на число. Сложение и вычитание.......................................................... 5

2.2. Умножение матриц....................................................................................................... 6

2.3. Возведение в степень. Транспонирование матрицы............................................... 7

§ 3. Определители....................................................................................................................... 7

3.1. Основные понятия........................................................................................................ 7

3.2. Свойства определителей.............................................................................................. 8

§ 4. Обратная матрица................................................................................................................ 10

4.1. Основные понятия......................................................................................................... 10

4.2. Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы..................... 10

4.3. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований............. 11

§ 5. Системы m линейных уравнений с n переменными..................................................... 12

5.1. Основные понятия........................................................................................................ 12

5.2. Системы n линейных уравнений с n переменными.

Формулы Крамера. Метод обратной матрицы........................................................... 14

5.3. Метод Гаусса................................................................................................................. 15

Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 6. Прямоугольная система координат в пространстве........................................................ 17

§ 7. Векторы................................................................................................................................ 18

7.1. Основные понятия......................................................................................................... 18

7.2. Линейные операции над векторами............................................................................ 18

7.3. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.

Модуль вектора. Направляющие косинусы................................................................. 20

7.4. Действия над векторами, заданными координатами................................................. 21

7.5. Деление отрезка в данном отношении........................................................................ 21

§ 8. Скалярное произведение векторов.................................................................................... 22

8.1. Определение скалярного произведения..................................................................... 22

8.2. Свойства скалярного произведения........................................................................... 23

8.3. Вычисление скалярного произведения векторов через координаты...................... 23

8.4. Приложения скалярного произведения векторов..................................................... 24

§ 9. Векторное произведение векторов.................................................................................... 25

9.1. Определение и вычисление векторного произведения векторов........................... 25

9.2. Свойства векторного произведения........................................................................... 26

9.3. Приложения векторного произведения..................................................................... 27

§ 10. Смешанное произведение векторов................................................................................ 27

10.1. Определение, свойства и вычисление смешанного

произведения векторов.................................................................................................. 27

10.2. Приложения смешанного произведения.................................................................. 28

Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

§ 11. Системы координат на плоскости................................................................................... 29

11.1. Прямоугольная и полярная системы координат..................................................... 29

11.2. Связь между прямоугольными и полярными координатами................................ 30

11.3. Преобразование прямоугольных координат........................................................... 31

§ 12. Прямая на плоскости......................................................................................................... 33

12.1. Общее уравнение прямой на плоскости.................................................................. 33

12.2. Частные случаи расположения прямой на плоскости.

Уравнение в отрезках на осях........................................................................................ 34

12.3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку:

а) параллельной данной прямой;

б) перпендикулярной данной прямой................................................................. 35

12.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Каноническое уравнение прямой.

Параметрические уравнения прямой...................................................................... 35

12.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом....................................................... 36

12.6. Взаимное расположение прямых на плоскости.

Расстояние от точки до прямой..................................................................................... 37

§ 13. Линии второго порядка на плоскости............................................................................. 38

13.1. Эллипс......................................................................................................................... 38

13.2. Гипербола..................................................................................................................... 40

13.3. Парабола....................................................................................................................... 41

13.4. Общее уравнение линии второго порядка................................................................ 43

Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 14. Плоскость........................................................................................................................... 44

14.1. Общее уравнение плоскости...................................................................................... 44

14.2. Расположение плоскости в пространстве.

Уравнение плоскости в отрезках на осях..................................................................... 45

14.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки............................................... 47

14.4. Нормальное уравнение плоскости............................................................................. 47

14.5. Пучок плоскостей........................................................................................................ 49

14.6. Взаимное расположение плоскостей.

Расстояние от точки до плоскости................................................................................ 50

§ 15. Прямая в пространстве...................................................................................................... 51

15.1. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой............................... 51

15.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки.................................................... 52

15.3. Взаимное расположение прямых в пространстве.

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости......................................... 53

§ 16. Прямая и плоскость в пространстве.

Условие принадлежности прямой плоскости.............................................................. 54

§ 17. Поверхности второго порядка......................................................................................... 56

17.1. Эллипсоид.................................................................................................................... 56

17.2. Однополостный гиперболоид.................................................................................... 57

17.3. Двуполостный гиперболоид...................................................................................... 58

17.4. Эллиптический параболоид....................................................................................... 60

17.5. Гиперболический параболоид.................................................................................... 61

17.6. Конус второго порядка................................................................................................ 62

17.7. Цилиндрические поверхности................................................................................... 63

Литература................................................................................................................................... 66

Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Матрицы. Виды матриц

Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, а для обозначения элементов матрицы используются, соответственно, строчные буквы с двойными индексами: , где i – номер строки, j – номер столбца.

Записывают матрицу так

или в сокращенном виде: , где ,

( i принимает значения от 1 до ; j принимает значения от 1 до ).

Например, .

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения: .

Определение. Матрицы одного размера называются равными, если их элементы совпадают, т.е. , для любых , .

Виды матриц.

1. Матрица, состоящая из одной строки, называется

матрицей (вектором) - строкой: .

2. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей (вектором)- столбцом:

.

3. Матрица, содержащая одну строку и один столбец, отождествляется с числом. - есть число . - есть число .

4. Матрица называется квадратной - го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно .

- квадратная матрица 3-го порядка.

Определение. Элементы матрицы , у которыхномер строки равен номеру столбца , называются диагональными элементами и образуют главную диагональ матрицы.

5. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Например, - диагональная матрица 3-го порядка.

6. Диагональная матрица -го порядка, все диагональные элементы которой равны 1, называется единичной матрицей - го порядка.

Она обозначается буквой Е.

Например, - единичная матрица 3-го порядка.

7. Матрица любого порядка, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Она обозначается буквой О.

Например, - нулевая матрица.

Матрицы Е и О играют ту же роль, что и числа 1 и 0 в арифметике.

Действия над матрицами

Умножение на число. Сложение и вычитание

1. Умножение матрицы на число возможно для матриц любого размера.

Определение. Произведением матрицы на число называется матрица , каждый элемент которой для , .

Например, .

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

В частном случае число 0 , умноженное на , есть нулевая матрица, т.е. .

2. Сложение матриц возможно только для матриц одинакового размера.

Определение. Суммой матриц и называется матрица , каждый элемент которой для , . (т.е. матрицы складываются поэлементно).

В частном случае .

Например,

.

3. Вычитание матриц можно выполнить с помощью двух предыдущих операций, т.е.

.

Умножение матриц

Умножение матрицы на матрицу возможно, когда число столбцов первой матрицы ( ) равно числу строк второй матрицы ( ).

В результате получается матрица, число строк которой равно числу строк матрицы ; а число столбцов равно числу столбцов матрицы .

Схема:

Определение. Произведением матриц и называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов - й строки первой матрицы ( ) на соответствующие элементы - го столбца второй матрицы ( ).

Схема вычисления:

Например, .

.

В частном случае .

Многие свойства операций над числами выполняются и для операций над матрицами:

1) + = +	6)
2) +( + )=( + )+	7)
3)	8)
4)	9)
5)

Однако некоторые свойства произведения чисел не выполняются для произведения матриц:

- произведение не всегда равно ;

(если , то матрицы называются перестановочными).

- произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице: .