Метод розв`язання: ділення лівої та правої частини рівняння на або .

Приклад. Розв`язати рівняння :

Розв`язання

– однорідне показникове рівняння

Поділимо обидві частини рівняння на ( ).

Зверніть увагу!

Маємо:

Зробимо заміну змінної ,маємо:

( 5)² ; =1

t₁

t₂

Повертаючись до заміни , маємо:

1) , звідси .

2)

Відповідь: 0; 1.

Вправи для самостійного розв’язування до теми 3:

1) = ; 16) ;

2) = ; 17) + =108 ;

3) = ; 18) =24 ;

4) = 4 ; 19) 7 =16 ;

5) =16 ; 20) =104 ;

6) 0,6 = ; 21) 12 +27=0 ;

7) ; 22) +4 =5 ;

8) = 144 ; 23) ;

9) ; 24) 4 6 7=0 ;

10) =1 ; 25) +5 =14 ;

11) =8 ; 26) + =12 ;

12) =25 ; 27) ⁺¹ 3

13) ; 28) +3 4 =0 ;

14) ; 29) +2 1 3 =0 ;

15) = ; 30) 3 = 5 .

Тема 4 . Показникові нерівності.

1.Нерівність, яка містить змінну в показнику степеня, називають показниковою.

Розв`язання показникових нерівностей ґрунтується на властивостях показникової функції, а саме:

1)Функція зростаєпри .

2)Функція спадаєпри .

При нерівність виду рівносильна

нерівності

При нерівність виду рівносильна

Нерівності .

Розв`язання показникових нерівностей методом зведення обох частин до однієї основи.

Зверніть увагу!

Приклади

1)Розв’яжіть нерівність :

Зводимо до основи 3

Оскільки тобто функція є зростаючою, тоді при порівнянні показників степеня знак нерівності не змінюється.

Отже,

Відповідь:

2) Розв’яжіть нерівність :

Зводимо до однієї основи 2, маємо:

Оскільки тоді при порівнянні показників степенів знак нерівності не змінюється.

Отже,

Відповідь:

3) Розв’яжіть нерівність :

Зводимо до однієї основи отримаємо:

Оскільки функція є спадною, тоді при порівнянні показників знак нерівності змінюється на протилежний.

Отже,

Зверніть увагу!

Відповідь:

4)Розв’яжіть нерівність:

Запишемо праву частину нерівності у вигляді степеня з основою 0,3 , тобто

Маємо нерівність:

Оскільки , тоді при порівнянні показників степенів знак нерівності змінюється на протилежний, тобто

Зверніть увагу!

Для розв’язування одержаної квадратичної нерівності знайдемо корені квадратного рівняння та розв’яжемо нерівність методом інтервалів:

Відповідь:

5)Розв’яжіть нерівність:

Запишемо праву частину нерівності у вигляді степеня з основою 1,5 , тобто:

Оскільки тоді при порівнянні показників степенів знак нерівності не змінюється, тобто:

Розв’яжемо нерівність методом інтервалів,

ОДЗ:

Відповідь:

6)Розв’яжіть нерівність:

У лівій частині нерівності винесемо за дужки степінь з найменшим показником

Відповідь:

7) Розв’яжіть нерівність:

Зробимо заміну змінної

Маємо:

Розв’яжемо нерівність методом інтервалів. Для цього знайдемо корені квадратного рівняння.

(t – 3) (t – 9) ≤ 0

+ − +

3 9 t

Отже, 3 ≤ t ≤ 9

Тобто t ≥ 3; ≥ 3; ≥ ≥ 1

t ≤ 9; ≤ 9; ≤ ; ≤ 2

1 2

Відповідь:

8) Розв’яжіть нерівність: + – 8 > 0

Замість запишемо добуток ∙ 2 та зведемо до степеня

з основою 2:

+ ∙ 2 – 8 > 0

Зробимо заміну змінної:

= , > 0, тоді =

+ 2 – 8 > 0

= – 4

= 2

Розв’яжемо нерівність методом інтервалів:

( + 4) ( – 2) > 0

+ − +

−4 2 t

Враховуючи, що > 0, маємо :

< −4;

> 2; > 2,

> 0;

Отже, > 2

Відповідь: .

Вправи для самостійного розв’язування до теми 4:

Розв’яжіть нерівність:

1) ; 11) ;
2) ; 12) ;
3) ; 13) ;

4) 14) ;
5) 15) ;

6) ; 16) ;

7) ; 17) ;

8) ; 18) ;
9) ; 19) ;
10) ; 20) 0,5 8 .