Псевдокері Мур – Пенроуз матрицасының бар болуы және жалғыздығы

(6)

матрицалық теңдеуді қарастырайық.

Егер ерекше емес квадрат матрица болса, онда бұл теңдеудің жалғыз шешімі болады: . Егер де кез келген -өлшемді тікбұрышты матрица болса, онда ізделінді шешімінің өлшемі болады, алайда бірмәнді анықталмайды. Жалпы жағдайда (6) теңдеудің шектеусіз шешімдер жиыны болады.

Анықтама 2. матрицасы псевдокері немесе матрицасы үшін Мур-Пенроуздың жалпыланған кері матрицасы деп аталады, егер төмендегі шарттар орындалса:

(7)

(8)

Мұндағы , -қандай да бір матрицалар.

(8) шарт матрицасының жолы (бағаны) матрицаның жолының (бағанының) сызықты комбинациясы болатындығын білдіреді.

Лемма 5. Кез келген матрицасы үшін келесі теңдік орындалады:

(9)

Дәлелдеуі. Біріншіден, болғандықтан, онда матрицаларды көбейту ережесі бойынша мен матрицаларының диагональдық элементтері тең болатындығын оңай тексеруге болады.

(10)

Онда матрицаның ізінің анықтамасынан (10) ескеріп мынаны аламыз:

Бұдан (9) дұрыс болатындығы шығады.

Салдар 1. матрицасы үшін кез келген теңдіктерінен болатындығы шығады.

Теорема 1. Кез келген матрицасы үшін Мур – Пенроуздың псевдокері матрицасы бар, жалғыз болады және келесі формуламен өрнектеледі:

(12)

мұндағы және - матрицасының (1) скелеттік жіктелуінің компоненттері.

Дәлелдеуі. матрицасының бар болуын дәлелдейік. Егер болса, онда деп қояйық. Айталық, болсын. (1) жіктеуді қарастырайық және алдымен іздейік. Псевдокері матрицаның анықтамасынан мынаны аламыз:

Соңғы теңдікті сол жағынан -ға көбейтіп, мынаны аламыз:

Енді соңғы теңдікті оң жағынан -ға көбейтіп, мынаны аламыз:

.

Дәл осылай

аламыз.

(12) матрицаны қарастырайық және ол (7), (8) шарттарды қанағаттандыратындығын көрсетейік, яғни псевдокері болатыдығын.

Белгілеу енгізейік:

Онда (1) және (12) қолданып мынаны аламыз:

Мұндағы

Енді берілген матрицасы үшін екі әртүрлі және псевдокері матрицаның болмайтындығын дәлелдейік. Расында да:

,

бұдан

,

Белгілеу еңгізейік

(13)

Онда келесі теңдіктер орындалады:

,

Ал бұдан

бұл (13) сәйкес мынаған тепе – тең

.

Осылайша, псевдокері матрицаның жалғыз болатындығы, және 1-теорема да дәлелденді.

1-теорема псевдокері матрицаны матрицасын скелеттік жіктеу бойынша есептеу әдісін береді.

Мысалы 2. (Псевдокері матрица). 1-мысалдағы матрицасы үшін оның 1-мысалда қолданылған скелеттік жіктеуін және (12) қолданып, псевдокері матрицасын табайық.

Біз әрбір матрицасы үшін жалғыз ғана Мур-Пенроуздың псевдокері матрицасы болатындығын дәлелдедік, және де егер матрицасы өзінің (1) скелеттік жіктелуімен берілсе , онда (6) түрге ие болады.

матрицасының кейбір қасиеттерін қарастырайық:

Теорема 2. (Мур-Пенроуздың псевдокері матрицасының қасиеттері). Келесі қасиеттер орынды:

1.

2.

3. , яғни матрицасы – эрмитті.

4. , яғни матрицасы – эрмитті.

5. .

6. , матрицалардың рангтары бірдей болады.

7. болады, егер жол бойынша толық рангқа ие болса.

8. болады, егер баған бойынша толық рангқа ие болса.

9. .

ДӘРІС 11, 12