Уравнение плоскости в пространстве

Оглавление

Варианты контрольной работы №2………………………………………………….2

Справочный материал по теме«Аналитическая геометрия на плоскости……….3

1. Декартова система координат (ДСК) на плоскости………………….……....3

2. Прямая линия на плоскости……………………………………………………3

Справочный материал по теме «Аналитическая геометрия в пространстве»……4

1. Уравнение плоскости в пространстве…………………………….……..........4

2. Уравнения прямой в пространстве…………………………………..………..5

Примерный вариант и образец выполнения домашней контрольной №2………...6

Варианты контрольной работы №2

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС.

№ варианта	Координаты точек	№ варианта	Координаты точек
	А(–2; –3), В(2; 7), С(6; –1)		А(3; –3), В(–4; 1), С(–2; 5)
	А(–5; 1), В(6; 3), С(–4; –7)		А(3; 5), В(–2; 2), С(2; –4)
	А(4; 5), В(–3; 2), С(5; –4)		А(–2; 4), В(5; 6), С(3; –4)
	А(7; –7), В(1; 2), С(–5; –4)		А(3; 7), В(–4; 1), С(–2; –5)
	А(–2; –3), В(6; 3), С(5; –4)		А(3; 5), В(5; 6), С(3; –4)
	А(–3; 4), В(4; 5), С(8; –3)		А(4; 3), В(–3; –2), С(–7; 2)

Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) найти внутренний угол треугольника при вершине В;

4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А;

5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан);

6) сделать чертеж в системе координат.

Задача 2. Даны координаты точек – вершин пирамиды ABCD.

№ варианта	Координаты точек
	А(1; 2; –1), В(0; 0; 1), С(1; –3; 3), D(2; –1; –1)
	А(7; 2; 4), В(7; –1; –2), С(3; 3; 1), D(4; 2; 1)
	А(1; 3; 6), В(2; 2; 1), С(–1; 0; 1), D(–4; 6; –3)
	А(–2; 0; –4), В(–1; 7; 1), С(4; –8; –4), D(1; –4; 6)
	А(1; 2; 0), В(3; 0; –1), С(5; –2; 3), D(3; 2; –1)
	А(–1; 1; 2), В(2; 1; –2), С(–2; 0; 4), D(2; –1; 2)
	А(4; 2; 5), В(2; –3; 0), С(–10; 5; 8), D(–5; 2; 4)
	А(2; –1; 1), В(–1; –3; 2), С(–2; 3; 1), D(–1; 2; –3)
	А(7; 2; 4), В(2; 2; 1), С(4; –8; –4), D(3; 2; –1)
	А(–1; 1; 2), В(2; –3; 0), С(–10; 5; 8), D(–2; 1; –1)
	А(–1; 1; 2), В(–2; 0; 3), С(3; 6; –3), D(–1; –2; 7)
	А(4; –1; 3), В(–2; 1; 0), С(0; –5; 1), D(–2; 1; –1)

Требуется:

1) вычислить длину ребра AB;

2) найти уравнение плоскости грани ABC;

3) найти угол между гранями ABC и BCD;

4) составить параметрические уравнения прямой AB;

5) составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D;

6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC;

7) найти угол между ребрами AB и BC;

8) найти угол между ребром AD и гранью ABC;

9) сделать чертеж пирамиды в системе координат.

Справочный материал по теме «Аналитическая геометрия на плоскости» (задачА 1)

Декартова система координат (ДСК) на плоскости

Расстояние |АВ| между двумя точками А(х_А; у_А)и В(х_В; у_В) (рис.1):

|AB| = . (1)

Деление отрезка в заданном отношении. Если точка С делит отрезок АВ в отношении λ, начиная от точки A (рис. 1), т.е. , то координаты точки C:

. (2)

Если точка С делит отрезок АВ пополам, т.е. =1, то координаты точки C:

. (3)

В ДСК уравнение линии имеет вид F(х, у) = 0 или у = f(х).

Прямая линия на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости:

Ах + В у + С = 0.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис. 3):

у = kx+ b. (4)

Уравнение вертикальной прямой (рис. 2):

х = а. (5)

Уравнения прямых, проходящих через одну заданную точку М(х₀; у_0­) (уравнение пучка прямых):

у – y₀ = k(x – x₀). (6)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂):

Рис.2 . (7)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

. (8)

Пусть на плоскости заданы две прямые, которым соответствуют уравнения с угловыми коэффициентами: у = k₁ x + b₁ и у = k₂ x + b₂.

Условие параллельности прямых на плоскости:

k₁= k₂._. (9)

Условие перпендикулярности прямых:

. (10)

Если одна из двух перпендикулярных прямых вертикальная, т.е. k₂ не существует, то k₁= 0 и обратно: если k₂ = 0, то k₁ не существует.

Тангенс острого угла между пересекающимися прямыми можно найти, используя формулу:

, (11)

откуда . Если одна из прямых вертикальная, т.е. k₂ не существует, то .

Справочный материал по теме «Аналитическая геометрия В ПРОСТРАНСТВЕ» (задачА 2)

Уравнение плоскости в пространстве

Общее уравнение плоскости: ,

где A, B, C – координаты вектора нормали вектора (любого вектора, перпендикулярного данной плоскости), D – свободный член уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. (12)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :

. (13)

Угол между двумя плоскостями, заданными уравнениями и определяется как угол между векторами их нормалей и или дополнительный к нему (обычно берется острый угол), то есть

. (14)