Атом водорода в квантовой механике

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром атома водорода определяется выражением

(7.18)

где r – расстояние между электроном и ядром, e – элементарный заряд.

Графически функция U(r) изображается кривой, представляющей собой гиперболическую потенциальную яму (рис.7.4).

Рассмотрим основные результаты, вытекающие из реше- ния уравнения Шредингера для электрона в атоме водорода.

1. Энергия электрона принимает ряд дискретных значе- ний, т.е. квантуется

(7.19)

где n = 1, 2, 3… - главное квантовое число.

Рис.7.4

Самый нижний энергети- ческий уровень электрона в атоме водорода называется основным, все остальные – возбужденными (рис.7.4). При этом каждому E_n (кроме E₁) соответствует несколько волно- вых функций, отличающихся величиной и ориентацией момента импульса электрона. Различные состояния с одинако- вой энергией называются вырожденными, а их число – кратностью вырождения.

2. Момент импульса (орбитальный механический момент) электрона и его проекция на направление внешнего магнитного поля квантуется по законам

L = ħ , (7.20)

L_z = ħ m, (7.21)

где l = 0, 1, 2,…,(n-1) – орбитальное квантовое число; m = 0, ±1, ±2, …, ±l – магнитное квантовое число.

При данном значении главного квантового числа n орбитальное квантовое число l принимает n значений, а при данном l магнитное квантовое число m принимает (2l+1) значение.

Квантование проекции вектора L, получившее назва- ние пространственного квантования, обусловлено дискрет- ностью ориентации момента импульса во внешнем поле. Графически оно представляется в виде векторных диаграмм (рис.7.5).

m =1   m =0   m = -1

m = 2 m = 1   m = 0 m = -1   m = -2

Рис.7.5

Дополнительно к этому, было установлено, что электрон, помимо орбитального, обладает и собственным механическим моментом импульса, получившим название – спин. Значение спина электрона равно

ħ, (7.22)

а его проекция на направление внешнего поля квантуется

L_sz = ħ m_s , (7.23)

где m_s = ±1/2 – спиновое квантовое число.

Наряду с механическими орбитальным и спиновым моментами импульса электрон обладает магнитными орбитальным и спиновым моментами. Величина орбитального магнитного момента и его проекция на направление внешнего

магнитного поля квантуется по тем же законам, что и орбитальный механический момент

p_m = gL = m_B , (7.24)

p_m = - m_B m, (7.25)

где g = e/2m – гиромагнитное отношение, m_B = е ħ/2m – магнетон Бора.

Собственный магнитный момент электрона ориентиру- ется по полю или против поля, при этом

p_msz = ± m_B . (7.26)

Следовательно, магнетон Бора является как бы естественной единицей магнитного момента электрона.

Состояния электрона в атоме принято обозначать следующим образом:

l = 0 Þ s – состояние,

l = 1 Þ p – состояние,

l = 2 Þ d – состояние,

l = 3 Þ f – состояние.

Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением числа l. Например, электрон в состоя- нии с n = 2 и l = 1 обозначается 2 p, с n = 3 и l = 0 – 3 s и т.д.

В квантовой механике нельзя говорить о траектории движения электрона в атоме. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. При этом, боровские стационарные орбиты представляют собой геометрическое место точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон.

Спектр атома водорода

Спектр атома водорода является линейчатым. Спектральные линии объединяются в отдельные серии. Линию c наибольшей длиной волны среди других линий этой серии называют головной линией, а линию, около которой сгущаются другие линии серии, называют коротковолновой границей.

Все серии атома водорода можно описать обобщенной формулой Бальмера

(7.27)

где R = 1.09 ^.10⁷ м^-1 – постоянная Ридберга, m имеет постоян- ное для каждой серии значение (m = 1, 2, 3…), а n принимает ряд целых значений, начинающихся с (m +1).

n=7 n=6 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1

В ультрафиолетовой части спектра находится серия Лаймана (m = 1), в видимой – серия Бальмера (m = 2), в инфракрасной области спектра лежат серии Пашена (m = 3), Брекета (m = 4), Пфунда (m= 5). Спектральные закономер- ности атома водорода получают простое объяснение на основе энергетической схемы (рис.7.6).

Рис.7.6

Испускание и поглощение света происходит при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой. При этом возможны только такие переходы, при которых изменения орбитального и магнитного квантовых чисел удовлетворяют условиям

Dl = ±1, (7.28)

Dm = 0, ±1. (7.29)

Эти условия получили название правил отбора.