Атом водорода в квантовой механике

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: ион гелия, двукратно ионизованный литий и т.д.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра. Поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом +Ze:

Атом водорода в квантовой механике - student2.ru

где Атом водорода в квантовой механике - student2.ru - расстояние между электроном и ядром. Графически функция Атом водорода в квантовой механике - student2.ru U( r) показана на рис.34.

Атом водорода в квантовой механике - student2.ru Состояние электрона в атоме водорода описывается функцией y удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающему вид потенциальной энергии для данного случая:

Атом водорода в квантовой механике - student2.ru ,

Атом водорода в квантовой механике - student2.ru где Атом водорода в квантовой механике - student2.ru - полная энергия электрона в атоме. Т.к. поле, в котором движется электрон - центрально-симметричное, то для решения этого уравнения используют сферическую систему координат показанную на рис.35. Декартовы координаты Атом водорода в квантовой механике - student2.ru заменяются на сферические: Атом водорода в квантовой механике - student2.ru .Не вдаваясь в решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые следуют из него, пояснив их физический смысл.

Энергия. Из теории дифференциальных уравнений известно, что уравнение Шредингера, приведенное выше имеет решения, удовлетворяющие стандартным условиям, только при собственных значениях энергии, имеющих вид:

Атом водорода в квантовой механике - student2.ru

т.е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.

Т.о., как и в случае потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками и гармонического осциллятора, решение соответствующего уравнения Шредингера приводит к квантованным значениям энергии. Возможные значения показаны на рисунке, показывающем вид Атом водорода в квантовой механике - student2.ru , в виде уровней. Самый нижний уровень - основной - E 1 . Все остальные - E2 , E3,… - возбужденные. При E < 0 движение электрона является связанным, т.е., он находится внутри гиперболической потенциальной ямы. Видно, что с ростом n уровни сближаются и при Атом водорода в квантовой механике - student2.ru . Если E > 0, то движение электрона становится свободным, т.е. он уходит в бесконечность. Область E > 0 соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода:

Атом водорода в квантовой механике - student2.ru

Выражение для энергии полностью совпадает с формулой полученной Бором для энергии атома водорода. Однако, если Бором это выражение получено путем введения постулатов, то в квантовой механике значения Атом водорода в квантовой механике - student2.ru являются следствием решения уравнения Шредингера.

Квантовые числа. При решении уравнения Шредингера для водородоподобного атома, как было показано в квантовой механике, собственные функции содержат три целочисленных параметра: Атом водорода в квантовой механике - student2.ru . Это соответствует записи:

Атом водорода в квантовой механике - student2.ru

Параметр Атом водорода в квантовой механике - student2.ru - главное квантовое число. Главное квантовое число, как было показано, определяет энергетические уровни электрона в атоме и принимает целочисленные значения: Атом водорода в квантовой механике - student2.ru . Было также установлено, что момент импульса (в нашем случае механический орбитальный момент рис.34) электрона может принимать только дискретные значения, которые определяются выражением: Атом водорода в квантовой механике - student2.ru , где Атом водорода в квантовой механике - student2.ru - орбитальное квантовое число, может принимать значения:, Атом водорода в квантовой механике - student2.ru , т.е., всего Атом водорода в квантовой механике - student2.ru - значений. Таким образом, Атом водорода в квантовой механике - student2.ru определяет момент импульса электрона в атоме. Квантовое число Атом водорода в квантовой механике - student2.ru иногда называют также азимутальным квантовым числом.

Выяснилось также, что вектор момента импульса может принимать не все ориентации, а только определяемые правилом пространственного квантования.

Наши рекомендации