Структурная схема двигателя

Приведение к единой оси моментов сопротивления

Приведение моментов сопротивления от одной оси вращения к другой

может быть произведено на основании энергетического баланса системы. Если

скорость поступательного движения υ, м/ с, а угловая скорость вала двигателя

ωД, рад/ с, то

сила сопротивления производственного механизма

Скорость вращения механизма равна

Отсюда приведенный к скорости вала двигателя момент сопротивления

равен:

Приведение к единой оси моментов сопротивления

Приведение моментов инерции к одной оси вращения основано на том,

что суммарный запас кинетической энергии движущихся частей привода,

отнесенный к одной оси, остается неизменным. При наличии вращающихся

частей, обладающих моментами инерции и угловыми скоростями

ωД , ω1, ω2, … , ωn, можно заменить их динамическое действие действием

одного момента инерции, приведенного, например, к скорости вала двигателя. В таком случае можно написать

где JД — момент инерции ротора двигателя и других элементов (муфты,

шестерни и т. п.), установленных на валу двигателя.

Система дифференциальных уравнений, описывающих объект

Система дифференциальных уравнений, описывающих объект, имеет

следующий вид:

Обозначим

; ;

; ; ;

Получим матицы. А и В

Согласно формуле для эквивалентной операторной передаточной мат­рицы по управляющим воздействиям получим следующее выражение:

(рис 1)

Уравнение параметров состояния

Важным этапом при анализе и синтезе дискретной системы управления по методу параметров состояния является преобразование исходного векторно-матричного дифференциального уравнения объекта (2) в алгебраическое векторно-матричное уравнение параметров состояния. Рассмотрим, как по исходному дифференци­альному уравнению объекта получить уравнение параметров состояния

, - функция веса

где L^-1 — оператор обратного преобразования Лапласа.

результаты ) и показанные в листинг моделирования

Обобщение синтеза системы на случай 3 датчикови 1 управляющих воздействий

По формулам найдем матрицу σ

Где

N=3; K=N-1=2

σ

где

Найдём матрицу

Элементы матрицы - обозначены элементы обратной матрицы по отно­шению к основной.

Найдем алгоритм дискретного счетно-решающего устройства, определим матрицу β(T) из условия, что датчики производят измерения выходных координат на каждом шаге дискретности и матрица датчиков единичная.

;

Листинг программы в Матлаб

>> syms A W_2 B T I_1 I_2 p x_9 E Opf tau b11 b12 b21 b32 W L at pi R1 R2 opr x_1 x_2 x_3 m_11 m_21 m_31 t Bet_11 Bet_12 Bet_13

A=[1; 0; 0]

B=[b11,b21,0;b21,0,0;0,b32,0]

I_1=[1/p,0,0;0,1/p,0;0,0,1/p]

E=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]

Opf=((E-I_1*B)^(-1))*(I_1*A)

I_2=[p 0 0;0 p 0;0 0 p]

L=((I_2-B)^(-1))

W=iLaplace(L,t)

t=1

pi=W*A

at=int(pi,0,T)

R_1=(W^(-1))*at

R_2=(W^(-2))*at

s=[at R_1 R_2]

opr=det(s)

x_1=s

x_1(:,1)=[]

x_1(1,:)=[]

m_11=((-1)^(2))*det(x_1)

x_2=s

x_2(:,1)=[]

x_2(2,:)=[]

m_21=((-1)^(3))*det(x_2)

x_3=s

x_3(:,1)=[]

x_3(3,:)=[]

m_31=((-1)^(4))*det(x_3)

Bet_11=-m_11/opr

Bet_12=-m_21/opr

Bet_13=-m_31/opr

T=1

b11=-0.08

b21=3.46

b32=1

Bet_11=1/2/t*(-5*exp(b11*t)+5*exp(b11*t)*exp(-b11*t)+2*b11*t*exp(b11*t)^2+3-3*exp(-b11*t))/(exp(-b11*t)-1)/(exp(b11*t)^2-2*exp(b11*t)+1)

Bet_12=-1/2/b21/t^2*(-2*exp(b11*t)+5*b11*t*exp(b11*t)+2-3*b11*t)/(exp(b11*t)^2-2*exp(b11*t)+1)

Bet_13=-1/b21*(exp(b11*t)-1)/t^2*b11/b32/(exp(b11*t)^2-2*exp(b11*t)+1)

A =

B =

[ b11, 0, 0]

[ b21, 0, 0]

[ 0, b32, 0]

I_1 =

[ 1/p, 0, 0]

[ 0, 1/p, 0]

[ 0, 0, 1/p]

E =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Opf =

1/(p-b11)

b21/(p-b11)/p

1/p^2*b21*b32/(p-b11)

I_2 =

[ p, 0, 0]

[ 0, p, 0]

[ 0, 0, p]

L =

[ 1/(p-b11), 0, 0]

[ b21/(p-b11)/p, 1/p, 0]

[ 1/p^2*b21*b32/(p-b11), b32/p^2, 1/p]

W =

[ exp(b11*t), 0, 0]

[ b21/b11*(-1+exp(b11*t)), 1, 0]

[ b21*b32*(-1/b11*t+1/b11^2*(-1+exp(b11*t))), b32*t, 1]

t =

pi =

exp(b11*t)

b21/b11*(-1+exp(b11*t))

b21*b32*(-1/b11*t+1/b11^2*(-1+exp(b11*t)))

at =

(-1+exp(b11*T))/b11

-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2

-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3

R_1 =

1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11

-b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2

b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3

R_2 =

1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11

(-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2

(b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3

s =

[ (-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]

[ -b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]

[ -1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]

opr =

-(-1+exp(b11*T))*b21^2*b32*T^2/b11^3*t*(1+exp(b11*t)^2-2*exp(b11*t))/exp(b11*t)^2

x_1 =

[ (-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]

[ -b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]

[ -1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]

x_1 =

[ 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]

[ -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]

[ b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]

x_1 =

[ -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]

[ b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]

m_11 =

-1/2*b21^2*b32/b11^3/exp(b11*t)^2*T*(-4*exp(b11*T)*t*exp(b11*t)+2*exp(b11*T)*t+4*t*exp(b11*t)-exp(b11*t)*T-2*t+2*exp(b11*t)^2*b11*T*t+exp(b11*T)*exp(b11*t)*T+T-exp(b11*T)*T)

x_2 =

[ (-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]

[ -b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]

[ -1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]

x_2 =

[ 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]

[ -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]

[ b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]

x_2 =

[ 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]

[ b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]

m_21 =

1/2*(-1+exp(b11*T))*b21*b32/exp(b11*t)^2/b11^3*T*(-4*b11*t*exp(b11*t)+exp(b11*t)*b11*T+2*exp(b11*t)+2*b11*t-b11*T-2)

x_3 =

[ (-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]

[ -b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]

[ -1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]

x_3 =

[ 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]

[ -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]

[ b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]

x_3 =

[ 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]

[ -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]

m_31 =

-(-1+exp(b11*T))*b21/exp(b11*t)^2/b11^2*T*(-1+exp(b11*t))

Bet_11 =

-1/2/T*(-4*exp(b11*T)*t*exp(b11*t)+2*exp(b11*T)*t+4*t*exp(b11*t)-exp(b11*t)*T-2*t+2*exp(b11*t)^2*b11*T*t+exp(b11*T)*exp(b11*t)*T+T-exp(b11*T)*T)/(-1+exp(b11*T))/t/(1+exp(b11*t)^2-2*exp(b11*t))

Bet_12 =

1/2/b21/T*(-4*b11*t*exp(b11*t)+exp(b11*t)*b11*T+2*exp(b11*t)+2*b11*t-b11*T-2)/t/(1+exp(b11*t)^2-2*exp(b11*t))

Bet_13 =

-1/b21*b11/T*(-1+exp(b11*t))/b32/t/(1+exp(b11*t)^2-2*exp(b11*t))

T =

b11 =

-0.277

b21=

-0.080

b21 =

3.4600

b32 =

Bet_11 =

-1.8138

Bet_12 =

-0.5995

Bet_13 =

-0.3007

>>