Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А(-4;8), В(5;-4), С (10;6). Найти: 1)длину сторон АВ 2)уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3)внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и её длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение: 1. Расстояние d между точками М1 Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru и М 2 (x2;y2) определяется по формуле: Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru (1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru = Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru =15

2. Уравнение прямой, проходящей через точки М1 (x1;y1) и М2(x2;y2), имеет вид: Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru (2)

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

3y-24=-4x-16, 4x+3y-8=0 (AB)

Для нахождения углового коэффициента kАВ прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Отсюда kАВ = Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.

Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ,

x+7y-52=0 (АС). Отсюда kАС = Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

3. Угол Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, определяется по формуле: Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru (3)

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее

k1= kАВ= Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , k2 =kАС = Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

tg А Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Итак, имеем Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru А=arctg1=450 Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru 0.79 радиан.

4. Так как высота СD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку:

kCD= Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку M1 (x1;y1) в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид: y - y1=k(x - x1). (4)

Подставив в (4) координаты точки С и kCD= Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , получим уравнение высоты CD: Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru (CD). (5)

Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (CD):

4x+3y – 8=0,

3x – 4y – 6=0, откуда x=2, y=0, то есть D(2;0).

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:

Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru 10.

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке Е(a;b) имеет вид:

Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru (6)

Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:

Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Следовательно, Е(6; 3) и R= Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru =5. Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности: (х — 6) 2+(y — 3) 2 =25.

6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и со-держит точку А, а третья ограничена прямой АС, и содержит точку В.

Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С: Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Поэтому искомое неравенство, имеет вид: Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:

Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru 2x – y – 14=0 (BC)

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем: Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Искомое неравенство будет Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, orpaниченную прямой АС и содержащую точку В: Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Третье искомое неравенство Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой, неравенств

Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

у

A(-4;8)

C(10;6)

E•

0 D x

B(5;-4)

Рис.1

На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображен треугольник АВС, высота CD, окружность с центром в точке Е.

Задача 2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки A(3; 0) и до прямой х=12 равно числу Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru =0,5. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. Пусть М(х; у) — текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр МВ на прямую х=12 (рис. 2). Тогда В (12; у).

По условию задачи Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . По формуле (1) из предыдущей задачи

Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тогда Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ,

4x2 – 24x+36+4y2 = x2– 24x +144, 3x2+4y2=108,

Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , где а = 6, b = Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Определим фокусы эллипса F1( - с; 0) и F2 (c; 0). Для эллипса справедливо равенство b2 = a2 - c2 , откуда c2 = a2 - b2 = 9 и с = 3. То есть, F1 ( -3; 0) и F2 (3; 0) — фокусы эллипса (точки F и А совпадают). Эксцентриситет эллипса Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru у

М В

-3 0 A 3 6 12 x

Рис. 2

Задача 3. Составить ypaвнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (3; — 4) равно расстоянию до прямой у=2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. М(х;у) — текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на прямую у = 2 (рис. 3). Тогда В (х; 2). Так как МА=МВ, то

Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru или

(x-3)2+y2+8y+16= y2-4y+4

-12y-12=(x-3) 2

y+1= Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru


Рис.3

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке О*(3; — 1). Для приведения уравнения параболы к простейшему (каноническому) виду положим

x – 3 = X*, y+1=Y*. Тогда в системе координат Х*0*У* уравнение параболы принимает следующий вид: У*= Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru (Х*)2. В системе координат Х*0*У* строим параболу.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат.

2. Напишите формулу для нахождения расстояния между двумя точками.

3. Напишите формулы для определения координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

4. Напишите формулы преобразования координат: а) при параллельном переносе системы координат; б) при повороте системы координат.

5. Напишите уравнения прямой: а) с угловым коэффициентом; б) проходящей через давленую точку в данном, направлении; в)проходящей через две данные точки; г) в «отрезках».

6. Как найти координаты точек пересечения двух прямых?

7. Напишите формулу для определения угла между двумя прямыми.

8. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?

9. Сформулируйте определение окружности.

10. Напишите уравнение окружности с центром в любой точке плоскости хОу; с центром в начале координат.

11. Дайте определение эллипса. Напишите каноническое уравнение эллипса.

12. Что называется эксцентриситетом эллипса? Как из-меняется форма эллипса с изменением эксцентриситета от 0 до 1?

13. Дайте определение гиперболы. Напишите каноническое уравнение гиперболы.

14. Напишите формулу для определения эксцентриситета гиперболы.

15. Напишите уравнения для нахождения асимптот гиперболы.

16. Сформулируйте определение параболы. Напишите каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу.

Наши рекомендации