Последовательности и их пределы

Лекция 5. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Числовую функцию f(n) = a_n, заданную на множестве натуральных чисел (nÎN), называют числовой последовательностью. Говорят, что последовательность задана, если каждому натуральному числу n по некоторому закону f поставлено в соответствие число f(n). В том случае, когда закон f задан формулой, говорят об аналитическом задании последовательности, при этом, как правило, записывают аналитическое выражение для члена а_n, называемого общим членом последовательности. Например, последовательность квадратов целых чисел: 1, 4, 9, 16, 25, .., n², ... = {n²}.

Часто закон, по которому задается последовательность, позволяет построить очередной член последовательности по известным предыдущим. Такой способ задания называется рекуррентным. Хорошо известная арифметическая прогрессия а, а + d, а + 2d, а + 3d, ...= {а + (n-1)d}может быть задана при помощи рекуррентного соотношения: а_n = а_n-1 + d.

Геометрическая прогрессия b, bq, bq², bq³, ...= { bq^n-1 } может быть задана при помощи следующего рекуррентного соотношения: b_n+1 = b_n q.

Для полного задания последовательности, кроме рекуррентного соотношения, необходимо задать некоторое число первых членов последовательности. Так, для арифметической и геометрической последовательностей, из бесконечного числа членов достаточно задать лишь их первые члены а и b, а также и параметры прогрессий d и q.

Последовательность {x_n} называется ограниченной сверху, если существует число М (верхняя граница), такое, что, x_n < M для всех n.

Последовательность {x_n} называется ограниченной снизу, если существует такое число m (нижняя граница), что x_n > m для всех n.

Если для всех членов последовательности выполняется условие x_n > x_n-1, то она называется возрастающей.

Если для всех членов последовательности выполняется условие x_n < x_n-1, то она называется убывающей.

Поскольку для всех n кроме того выполняется условие, то это последовательность.

Последовательность {x_n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Вторая из приведенных выше последовательностей является ограниченной снизу возрастающей последовательностью.

Пример.Рассмотрим далее три последовательности:

1, 0, -1, -2, -3, ...... , -п,.... ;

2, 4, 6, ......2n, …...;

1, 2^-1, 2^-2, 2^-3, ……. , 2^-n … .

Первая из приведенных выше последовательностей ограничена сверху, например, числом 2 и является убывающей.

Вторая из приведенных выше последовательностей ограничена снизу, например, числом 1 и является возрастающей.

Третья последовательность является ограниченной убывающей последовательностью.

Последовательность {х_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А (сколь бы большим его ни взяли) существует номер N такой, что для всех членов последовательности с номерами n > N выполняется неравенство |х_n| > А.

Последовательность {x_n} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε>0 (сколь бы малым его ни взяли) существует номер N такой, что для всех членов последовательности с номерами n > N выполняется неравенство |x_n| < ε.

Рассмотрим последовательность Члены этой последовательности по мере возрастания номера члена приближаются к числу 1. Говорят, что эта последовательность сходится к числу 1.

Строгое определение может быть дано следующим образом.

Последовательность {xn} сходится к числу А, если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 можно указать такое натуральное число N(ε), что для всех n больше N, то есть для n > N выполняется неравенство |xn ‒ А| < ε.

То что А является пределом {x_n} записывается так: . Говорят также, что x_n стремится к А и пишут .

Проиллюстрируем это определение на приведенном выше примере сходящейся последовательности:

.

Пусть ε = 0,01, тогда неравенство преобразуется и далее . Значит неравенство выполняется при всех , значит найдено искомое .

Найдем N(0,0001). отсюда .

Тем самым установлено, что, начиная с n = 99, будет выполняться неравенство | x_n — 1| < 0,01 , а начиная с n = 9999, будет выполняться неравенство | x_n — 1| < 0,0001.

Теперь можно записать, что .

Каждому члену числовой последовательности (поскольку это число) соответствует точка на числовой оси. Если последовательность имеет пределом число с соответствующей точкой А, то для всех номеров последовательности, начиная с некоторого N, точки соответствующие членам последовательности находятся внутри промежутка (А - ε, А + ε), называемого ε-окрестностью числа А.

Если ε очень мало, то число N может быть весьма большим. Следовательно, большое количество членов последовательности окажутся вне ε-окрестности, однако их всегда будет лишь конечное число. Все остальные члены последовательности, начиная с номера N и более, попадают в ε-окрестность. Таким образом, если последовательность сходится к А, то какую бы окрестность точки А ни взять, почти все числа x_n попадают в выбранную окрестность.

Отсюда следует, что добавление или исключение конечного числа членов такой последовательности не влияет на ее сходимость. Если последовательность {x_n} сходится к А, то пишут: (читается: «предел x_n при n, стремящемся к бесконечности, равен А»). В этом случае говорят, что число А есть предел последовательности {x_n} или иначе, при неограниченном увеличении номера общий член последовательности стремится к величине А.

Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа E можно указать такое натуральное число N(E), что для всех n больше N(E), то есть для n > N(E) выполняется неравенство |xn| > E.

Если при этом начиная с некоторого номера x_n>0, то говорят, что x_n имеет предел или . Если же начиная с некоторого номера x_n < 0, то говорят, что x_n имеет предел или .

Если последовательность не имеет конечного предела или не имеет предела вообще, то ее называют расходящейся. Так, последовательность -1, 1, -1, 1, ... (-1)ⁿ, ... расходится, так как в этом случае не существует. А последовательность -1, 0, -1, -2, -3, ...... , -п,.... расходится, так как не имеет конечного предела, хотя .