Решить задачу с использованием классического определения

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ

«УРАЛЬСКИЙ КОЛЛЕДЖ СТРОИТЕЛЬСТВА, АРХИТЕКТУРЫ И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА»

Математика

(базовый уровень)

Методические указания и варианты контрольной работы

для студетов факультета заочного обучения

2016 г.

Выполнение и оформление контрольных работ

Слушатели выполняют контрольную работу в соответствии с учебным рабочим планом в сроки, установленные факультетом заочного обучения.

Слушатели должны выполнить один из 100 вариантов, номер которого определяется по двум последним цифрам номера зачетной книжки.

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клеточку ручкой любого цвета, кроме зеленого и красного, аккуратно и разборчивым почерком, чертежи выполняются простым карандашом с использованием инструмента.

На титульном листе следует указать фамилию, имя, отчество, номер зачетной книжки, номер варианта.

Задания в контрольных работах выполняются по порядку, согласно расположению их в варианте.

Варианты контрольной работы

№ варианта	Задания	№ варианта	Задания
	1, 50, 74, 98, 122, 146, 170, 176
	2, 26, 75, 99, 123, 147, 171, 177		3, 27, 51, 100, 124, 148, 172, 178
	4, 28, 52, 76, 125, 149, 173, 179		5, 29, 53, 77, 101, 150, 174, 180
	6, 30, 54, 78, 102, 126, 175, 181		7, 31, 55, 79, 103, 127, 151, 182
	8, 32, 56, 80, 104, 128, 152, 183		9, 33, 57, 81, 105, 129, 153, 184
	10, 34, 58, 82, 106, 130, 154, 185		11, 35, 59, 83, 107, 131, 155, 186
	12, 36, 60, 84, 108, 132, 156, 187		13, 37, 61, 85, 109, 133, 157, 188
	14, 38, 62, 86, 110, 134, 158, 189		15, 39, 63, 87, 111, 135, 159, 190
	16, 40, 64, 88, 112, 136, 160, 191		17, 41, 65, 89, 113, 137, 161,192
	18, 42, 66, 90, 114, 138, 162, 193		19, 43, 67, 91, 115, 139, 163, 194
	20, 44, 68, 92, 116, 140, 164, 195		21, 45, 69, 93, 117, 141, 165, 196
	22, 46, 70, 94, 118, 142, 166, 197		23, 47, 71, 95, 119, 143, 167, 198
	24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 199		25, 49, 73, 97, 121, 145, 169, 200
	1, 48, 51, 99, 101, 149, 151, 176		2, 48, 52, 98, 102, 148, 152, 177
	3, 47, 53, 97, 103, 147, 153, 178		4, 46, 54, 96, 104, 146, 154, 179
	5, 45, 55, 95, 105, 145, 155, 180		6, 44, 56, 94, 106, 144, 156, 181
	7, 43, 57, 93, 107, 143, 157, 182		8, 42, 58, 92, 108, 142, 158, 183
	9, 41, 59, 91, 109, 141, 159, 184		10, 40, 60, 90, 110, 140, 160, 185
	11, 39, 61, 89, 111, 139, 161, 186		12, 38, 62, 88, 112, 138, 162, 187
	13, 37, 63, 87, 113, 137, 163, 188		14, 36, 64, 86, 114, 136, 164, 189
	15, 35, 65, 85, 115, 135, 165, 190		16, 34, 67, 84, 116, 134, 166, 191
	17, 33, 67, 83, 117, 133, 167, 192		18, 32, 68, 82, 118, 132, 168, 193
	19, 31, 69, 81, 119, 131,169, 194		20, 30, 70, 80, 120, 130, 170, 195
	21, 29, 71, 79, 121, 129, 171, 196		22, 28, 72, 78, 122, 128, 172, 197
	23, 27, 73, 77, 123, 127, 173, 198		24, 26, 74, 76, 124, 126, 174, 199
	25, 50, 75, 100, 125, 150,175, 200		1, 50, 51, 100, 101, 150, 151, 176
	2, 49, 52, 99, 102, 149, 152, 177		3, 48, 53, 98, 103, 148, 153, 178
	4, 47, 54, 97, 104, 147, 154, 179		5, 46, 55, 96, 105, 146, 155, 180
	6, 45, 56, 95, 106, 145, 156, 181		7, 44, 57, 94, 107, 144, 157, 182
	8, 43, 58, 93, 108, 143, 158, 183		9, 42, 59, 92, 109, 142, 159, 184
	10, 41, 60, 91, 110, 141, 160, 185		11, 40, 61, 90, 111, 140, 161, 186
	12, 39, 62, 89, 112, 139, 162, 187		13, 38, 63, 88, 113, 138, 163, 188
	14, 37, 64, 87, 114, 137, 164, 189		15, 36, 65, 86, 115, 136, 165, 190
	16, 35, 66, 85, 116, 135, 166, 191		17, 34, 67, 84, 117, 134, 167, 192
	18, 33, 68, 83, 118, 133, 168, 193		19, 32, 69, 82, 119, 132, 169, 194
	20, 31, 70, 81, 120, 131, 170, 195		21, 30, 71, 80, 121, 130, 171, 196
	22, 29, 72, 79, 122, 129, 172, 197		23, 28, 73, 78, 123, 128, 173, 198
	24, 27, 74, 77, 124, 127, 174, 199		25, 26, 75, 76, 125, 126, 175, 200
	1, 49, 72, 95, 118, 141, 164, 176		2, 50, 73, 96, 119, 142, 165, 177
	3, 26, 74, 97, 120, 143, 166, 178		4, 27, 75, 98, 121, 144, 167, 179
	5, 28, 51, 99, 122, 145, 168, 180		6, 29, 52, 100, 123, 146, 169, 181
	7, 30, 53, 76, 124, 147, 170, 182		8, 31, 54, 77, 125, 148, 171, 183
	9, 32, 52, 78, 101, 149, 172, 184		10, 33, 56, 79, 102, 150, 173, 185
	11, 34, 57, 80, 103, 126, 174, 186		12, 35, 58, 81, 104, 127, 175, 187
	13, 36, 59, 82, 105, 128, 151, 188		14, 37, 60, 83, 106, 129, 152, 189
	15, 38, 61, 84, 107, 130, 153, 190		16, 39, 62, 85, 108, 131, 154, 191
	17, 40, 63, 86, 109, 132, 155, 192		18, 41, 64, 87, 110, 133, 156, 193
	19, 42, 65, 88, 111, 134, 157, 194		20, 43, 66, 89, 112, 135, 158, 195
	21, 44, 67, 90, 113, 136, 159, 196		22, 45, 68, 91, 114, 137, 160, 197
	23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 198		24, 47, 70, 93, 116, 139, 162, 199
	25, 48, 71, 94, 117, 140, 163, 200

Указания к выполнению контрольной работы

Примеры решения типовых задач

№ 1. Даны координаты вершин пирамиды А₁ А₂ А₃ А₄.:

А₁ (0; 2; - 2), А₂ (1; 0; - 1), А₃ (0; 5; - 1), А₄ (0; 2; 1).

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂; 2) угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄; 3) площадь грани А₁ А₂ А₃; 4) объем пирамиды; 5) уравнение прямой А₁ А₂.

Решение

1. Найти длину ребра А₁ А₂.

(ед)

2. Найти угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄.

, отсюда

,

где и .

и ,

, значит, .

3. Найти площадь грани А₁ А₂ А_3.

Найдем векторное произведение векторов и .

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, т.е. S_{треугольника} = (ед2).

4. Найти объем пирамиды А1 А2 А3 А4.

Объем пирамиды равен одной шестой модуля смешанного произведения трех векторов, т.е.

,

, и .

5. Составить уравнение прямой А₁ А₂.

- направляющий вектор прямой , точка лежит на прямой. Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид: , .

№ 2. Вычислить:

1) Примеры и решение пределов с использованием теорем о пределах:

(1+ ) = 1 + 0 = 1;

(4x3 - х + 2) = 4x3 - х + 2 =4( x)3 - х + 2= 4 * 1 - 1 + 2 = 5.

2) Примеры и решение пределов с использованием методов раскрытия неопределенностей, а также теорем о пределах:

= [ = 0, ( ) = 0] =

= =

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида , надо под знаком предела числитель и знаменатель разложить на множители и сократить их далее на общий множитель.

= = = = - 9.

=

Здесь мы также имеем неопределенность вида . Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю (избавляемся от иррациональности в числителе):

= = =

= = =

= = = .

=

Здесь мы также имеем неопределенность вида . Домножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы выражений и 1, чтобы получить разность кубов в числителе:

= = =

= = =

= = = .

3) Вычислить:

= =

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида , надо под знаком предела числитель и знаменатель дроби разделить на переменную х с наивысшим показателем.

= = =

Осталось воспользоваться теоремами о пределах, а также тем, что функции , и - бесконечно малые при х .

= = .

= =

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида , надо под знаком предела числитель и знаменатель дроби разделить на переменную х с наивысшим показателем.

= = =

Осталось воспользоваться теоремами о пределах, а также тем, что функции , и - бесконечно малые при х .

= = .

= =

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида , надо под знаком предела числитель и знаменатель дроби разделить на переменную х с наивысшим показателем.

= = =

Осталось воспользоваться теоремами о пределах, а также тем, что функции и - бесконечно малые при х .

= = .

4) Примеры и решение пределов с помощью замечательных пределов:

=

Домножим числитель и знаменатель дроби на «3» и получим:

= =

Используя теоремы о пределах и первый замечательный предел, получаем:

= 3 =3.

=

Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х, после чего воспользуемся предыдущим примером, получим:

= = .

=

Сведем данный предел к первому замечательному пределу, для этого сделаем замену у = х - . Тогда при х , а х = у + , откуда

= =

В числителе дроби используем формулу приведения, тогда

= = = .

(1 + ) =

В данном случае неопределенность вида , для ее раскрытия сделаем замену у = . Тогда при и исходный предел сводится ко второму замечательному пределу:

= = = = .

=

Поделив числитель и знаменатель дроби на х, сведем данный предел ко второму замечательному пределу, т.е.

= =

В числителе дроби сделаем замену у = , а в знаменателе дроби t = . Тогда и при и исходный предел сводится ко второму замечательному пределу:

= = = = .

5) Вычислить предел по правилу Лопиталя.

.

При вычислении производных используется таблица производных элементарных функций, применяются правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций, а также правило дифференцирования сложной функции.

№ 4. Найти производную сложной функции:

.

2)

.

3)

.

№ 5.1) Исследовать функцию и построить ее график.

Решение

1. Функция терпит разрыв при х = 1 и х = - 1. При всех других значениях аргумента она непрерывна. Область ее определения состоит из трех интервалов , а график из трех ветвей.

2. Функция является нечетной, так как у (-х) = -у (х), т.е.

.

Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат.

3. Найдем интервалы возрастания и убывания функции. Так как

, то

> 0 в области определения, и функция является возрастающей на каждом интервале области определения.

4. Исследуем функцию на экстремум. Так как , то критическими точками являются точки х = 1 и х = - 1 ( не существует), но они не принадлежат области определения функции. Функция экстремумов не имеет.

5. Исследуем функцию на выпуклость. Найдем :

.

Вторая производная равна нулю или не существует в точках х =0, х=1 и х =-1.

- 1 0 1 х

Точка О (0; 0) – точка перегиба графика функции.

График выпуклый вверх на интервале (-1; 0) и ; выпуклый вниз на интервалах и (0; 1).

6. Определим асимптоты графика функции. Прямые х=1 и х =-1 являются вертикальными асимптотами. Используя соответствующие формулы, выясним вопрос о наличии наклонной асимптоты:

( при ),

.

Следовательно, есть горизонтальная асимптота, ее уравнение у = 0.

7. Строим график:

у

- 1 0 1 х

2) Исследовать функцию у = х³ - 2х² +2х – 1 и построить ее график.

Решение

1. Область определения функции: D (f) = ( ). Функция непрерывна и определена при всех значениях х.

2. Найдем (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью ординат находим, подставив значение х = 0 в функцию у = х³ - 2х² +2х – 1:

у (0) = 0³ -2·0² + 2∙0 – 1 = - 1, откуда получаем у = - 1.

Точки пересечения с осью абсцисс находим из уравнения

х³ - 2х² + 2х – 1 = 0

Решим кубическое уравнение, для этого найдем один из корней.

При х = 1 получаем верное равенство, т.е. 13 -2∙12 + 2∙1 – 1 = 0.

Разделим х³ - 2х² + 2х – 1 на х – 1:

х³ - 2х² + 2х – 1 х – 1

х³ - х² х² – х + 1

– х² + 2х – 1

– х² + х

х – 1

х – 1

х³ - 2х² + 2х – 1 = (х - 1)(х² – х + 1).

Решим уравнение (х - 1)(х² – х + 1) = 0, х - 1 = 0 или х² – х + 1 = 0,

х = 1 D = - 3 < 0

Итак, функция проходит через точки (0; - 1) и (1; 0).

3. Исследуем функцию на четность, изменив знак аргумента на противоположный: у(- х)=(- х)³ – 2(- х)² + 2(- х) – 1 = - х³ - 2х² - 2х – 1 = - (х³ + 2х² + 2х + 1) у(х).

Получили совсем другую функцию, значит, исходная функция является функцией общего вида.

4. Функция является непрерывной, значит, нет вертикальных асимптот. Проверим, есть ли наклонная асимптота вида у = kx + b. Для этого найдем угловой коэффициент прямой:

Отсюда следует, что наклонной асимптоты нет.

5. Найдем интервалы монотонности. Вычислим производную и приравняем ее к нулю:

у' = (х³ - 2х² +2х – 1) = 3х² - 4х +2 = 0. Из уравнения 3х² - 4х +2 = 0 найдем критические точки: D = - 8 < 0. Критических точек нет, функция монотонно возрастает на всей области определения.

6. Точек экстремума нет.

7. Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции, если они есть. Вычислим вторую производную и приравняем ее к нулю:

у"= (3х² - 4х +2) = 6х – 4 = 0. Из уравнения 6х – 4 = 0 найдем точки, подозрительные на перегиб: .

Х
	–	+
У

1. На основании проведенного исследования построим график функции

у

- 1 0 1 х

- 1

№ 7.

1) Вычислить интеграл .

Решение

Данный интеграл вычисляется методом замены переменной.

Имеем:

= = = e + C = e +C.

Проверка

Если интеграл вычислен верно, то производная e +C должна равняться подынтегральной функции .

.

Вычислить интеграл .

Решение

Данный интеграл вычисляется методом замены переменной.

Имеем:

.

Проверка

Если интеграл вычислен верно, то производная должна равняться подынтегральной функции .

.

2) Вычислить интеграл .

Решение

Под знаком интеграла неправильная дробь; выделим целую часть путем деления числителя на знаменатель.

=

(разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби)

,

, т.е.

.

Отсюда следует, что

и

.

Проверка

Найдем производную выражения .

.

Интеграл вычислен правильно, так как производная первообразной равна подынтегральной функции.

№ 8. Вычислить интеграл .

Решение

При вычислении определенных интегралов используются такие же методы, что и при вычислении неопределенных интегралов, но не стоит забывать о пределах интегрирования.

=

.

Решить задачу с использованием классического определения

Вероятности.

1) В урне содержатся 5 белых и 4 черных шара. Наудачу вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что: а) оба шара белые; б) хотя бы один из них черный.

Решение:

а) .

. Т.к. должны появиться следующие шары: , , , и т.д.

. Т.к. должны появиться следующие шары: , , , и т.д.

Поэтому .

б) . Т.к. должны появиться следующие шары: , , , , , и т.д.

.

.

2) В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что: а) все они одного цвета; б) все они разных цветов; в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш?

Решение:

а) Выбрать 3 синих карандаша из 5 можно ; 3 красных карандаша из имеющихся четырех можно выбрать способами; 3 зеленых из 3 зеленых - способами.

Следовательно, по правилу сложения, .

.

.

б) По правилу умножения число элементарных исходов, благоприятствующих событию, равно .

.

.

в) По правилу умножения .

.

.

3) Дано 6 карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой выбираются 6 карточек и располагаются в ряд в порядке появления.

Решение:

Шестибуквенные «слова» отличаются друг от друга лишь порядком расположения букв (НОЛМИЯ, ЯНОЛИМ, ОЛНИЯМ и т.д.). Их число равно числу перестановок из 6 букв, т.е. . Тогда вероятность появления слова молния равна .

№ 2.Решить задачу с использованием теорем сложения и умножения вероятностей.

1) В корзине находится 13 деталей, из них 7 стандартные. Из корзины наудачу берут последовательно (сначала одну, потом другую) две детали, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что обе детали стандартны.

Решение

Пусть событие С – обе взятые детали стандартные.

Событие С – сложное и состоит из двух простых событий А и В.

Сформулируем простые события А и В: событие А – первая взятая деталь стандартная; событие В – вторая взятая деталь стандартная.

Для того, чтобы наступило событие С, необходимо, чтобы события А и В произошли одновременно, следовательно, .

События А и В являются зависимыми, значит, для нахождения вероятности события С воспользуемся теоремой произведения вероятностей зависимых событий:

.

, .

Тогда .

2) Вероятность выхода из строя станка в течение одного рабочего дня равна 0,01. Какова вероятность того, что за 5 дней станок ни разу не выйдет из строя?

Решение

Вероятность того, что станок выйдет из строя в течение дня, равна . Тогда по теореме умножения вероятностей - вероятность того, что станок не выйдет из строя в течение 5 дней.

3) В ящике а белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что из двух вынутых шаров один белый, а другой черный? (Вынутый шар в урну не возвращается).

Решение. Пусть:

событие А – появление белого шара при первом вынимании;

событие В – появление черного шара при втором вынимании;

событие С – появление черного шара при первом вынимании;

событие D – появление белого шара при втором вынимании.

Вычислим вероятность того, что первый вынутый шар белый, а второй черный: .

Найдем вероятность того, что первый вынутый шар черный, а второй белый:

.

Таким образом, вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный, определится по теореме сложения: , т.е.

.

№ 3.Решить задачу с использованием формулы Бернулли.

1) В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего шары в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет два белых шара.

Решение.

Вероятность появления белого шара в каждом испытании равна , а вероятность не появления белого шара равна . По формуле Бернулли находим: .

№ 4.Решить задачу и использованием формулы полной вероятности или формула Байеса.

1) Имеются три одинаковые по виду урны. В первой урне 15 белых шаров, во второй – 10 белых и 5 черных, а в третьей – 15 черных шаров. Из выбранной наугад урны вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первой урны.

Решение.

Событие А – появление белого шара;

гипотеза - выбор первой урны;

гипотеза - выбор второй урны;

гипотеза - выбор третьей урны.

Имеем: , , , .

Искомую вероятность находим по формуле Байеса:

.