Основные определения. Операции над комплексными числами

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Введение

Начнем с нескольких напоминаний.

Одна из причин введения рациональных чисел обусловлена требованием, чтобы всякое линейное уравнение ax = b (где a  0) было разрешимо. В области целых чисел линейное уравнение разрешимо лишь в том случае, когда b делится нацело на a.

Одна из причин расширения множества рациональных чисел до множества действительных чисел была связана с разрешимостью квадратных уравнений, например, уравнения вида x² = 2. На множестве рациональных чисел это уравнение не разрешимо, так как среди рациональных нет числа, квадрат которого равен двум. Как известно, – число иррациональное. На множестве же действительных чисел уравнение x² = 2 разрешимо, оно имеет два решения x₁ = и x₂ = – .

И все же нельзя считать, что на множестве действительных чисел разрешимы все квадратные уравнения. Например, квадратное уравнение x² = – 1 на множестве действительных чисел решений не имеет, так как среди действительных чисел нет такого числа, квадрат которого отрицателен.

Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это соображение приводит к необходимости вводить новые числа и расширять множество действительных чисел до множества комплексных чисел, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение.

Вспомним о едином принципе расширения числовых систем и поступим в соответствии с этим принципом.

Если множество А расширяется до множества В, то должны быть выполнены следующие условия:

1. Множество А есть подмножество В.
2. Отношения элементов множества А (в частности, операции над ними) определяются также и для элементов множества В; смысл этих отношений для элементов множества А, рассматриваемых уже как элементы множества В, должен совпадать с тем, какой они имели в А до расширения.
3. В множестве В должна выполняться операция, которая в А была невыполнима или не всегда выполнима.
4. Расширение В должно быть минимальным из всех расширений данного множества А, обладающих первыми тремя свойствами, причем это расширение В должно определяться множеством А однозначно (с точностью до изоморфизма).

Итак, расширяя множество действительных чисел до множества новых чисел, названных комплексными, необходимо, чтобы:

а) комплексные числа подчинялись основным свойствам действительных чисел, в частности, коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам;
б) в новом числовом множестве были разрешимы любые квадратные уравнения.

Множество действительных чисел недостаточно обширно, чтобы в нем были бы разрешимы все квадратные уравнения. Поэтому, расширяя множество действительных чисел до множества комплексных чисел, мы потребуем, чтобы в нем можно было бы построить полную и законченную теорию квадратных уравнений. Другими словами, мы расширим множество действительных чисел до такого множества, в котором можно будет решить любое квадратное уравнение. Так, уравнение x² = – 1 не имеет решений во множестве действительных чисел потому, что квадрат действительного числа не может быть отрицательным. В новом числовом множестве оно должно иметь решение. Для этого вводится такой специальный символ i, называемый мнимой единицей, квадрат которого равен – 1.

Ниже будет показано, что введение этого символа позволит осуществить расширение множества действительных чисел, пополнив его мнимыми числами вида bi (где b – действительное число) таким образом, чтобы в новом числовом множестве (множестве комплексных чисел) при сохранении основных законов действительных чисел были разрешимы любые квадратные уравнения.

Основные определения. Операции над комплексными числами

1. Существует элемент i (мнимая единица) такой, что i² = – 1.

2. Символ a + bi называют комплексным числом с действительной частью a и мнимой частью bi, где a и b – действительные числа, b – коэффициент мнимой части.

Комплексное число a + 0i отождествляется с действительным числом a, т.е. a + 0i = a, в частности, 0 + 0i = 0. Числа вида bi (b  0) называют чисто мнимыми.

Например, комплексное число 2 + 3i имеет действительную часть – действительное число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 – коэффициент мнимой части.

Комплексное число 2 – 3i имеет действительную часть число 2, мнимую часть – 3i, число – 3 – коэффициент при мнимой части.

3. Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей.

Т.е., если a + bi = c +di, то a = c, b = d: и, обратно, если a = c, b = d, то a + bi = c +di.

4. Правило сложения и вычитания комплексных чисел.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Например:

(2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;

(– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i;

(– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i =

= – 1 + 0i = – 1.

Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению, и выполняется по формуле:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.

Например:

(5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i;

(3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2.

5. Правило умножения комплексных чисел.

(a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i.

Из определений 4 и 5 следует, что операции сложения, вычитания и умножения над комплексными числами осуществляются так, как будто мы выполняем операции над многочленами, однако с условием, что i² = – 1.

Действительно: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bdi² = (ac – bd) + (ad + bc)i.

Например, (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i² = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i; (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13.

Из второго примера следует, что результатом сложения, вычитания, произведения двух комплексных чисел может быть число действительное. В частности, при умножении двух комплексных чисел a + bi и a – bi, называемых сопряженными комплексными числами, в результате получается действительное число, равное сумме квадратов действительной части и коэффициента при мнимой части. Действительно:

(a + bi)(a – bi) = a² – abi + abi – b²i² = a² + b².

Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число.

Например: 5i•3i = 15i² = – 15; – 2i•3i = – 6i² = 6, и вообще bi•di = bdi² = – bd.

6. Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di  0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле:

.

Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c² + d² = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается.

Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Например,

Опираясь на введенные определения нетрудно проверить, что для комплексных чисел справедливы коммутативный, ассоциативный и дистрибудивный законы. Кроме того, применение операций сложения, умножения, вычитания и деления к двум комплексным числам снова приводит к комплексным числам. Тем самым можно утверждать, что множество комплексных чисел образует поле. При этом, так как комплексное число a + bi при b = 0 отождествляется с действительным числом a = a + 0i, то поле комплексных чисел включает поле действительных чисел в качестве подмножества.

Приведем классификацию комплексных чисел: