Краткие теоретические сведения. Ознакомление с вероятностными процессами в технических объектах, изучение модели надежности отказоустойчивой системы на основе цепей

Лабораторная работа № 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ НА

ОСНОВЕ ЦЕПЕЙ МАРКОВА С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Цель работы

Ознакомление с вероятностными процессами в технических объектах, изучение модели надежности отказоустойчивой системы на основе цепей Маркова.

Краткие теоретические сведения

1. Если случайная величина не является постоянной в некотором процессе, то такая величина характеризуется случайной функцией, которая в течении процесса может принять тот или другой вид, заранее не известный. Если аргументом случайной функции является время, то такая случайная функция называется вероятностным (случайным) процессом. Функционирование информационной или вычислительной системы представляет собой реализацию вероятностных процессов.

В технических и информационных системах потоки событий и случайные процессы взаимосвязаны. Например, процесс смены состояний объекта, может вызываться потоками отказов и потоками восстановлений.

Чтобы охарактеризовать вероятностный процесс, необходимо указать тип процесса и его числовые характеристики. Существует большое число различных типов вероятностных процессов. Наиболее подходящим для описания процессов, происходящих во многих технических объектах, является Марковский процесс. Марковский процесс - процесс, у которого в каждый момент времени вероятность перехода в любое другое состояие зависит только от текущего состояния объекта и не зависит от того, каким образом объект пришел в это состояние.

В исследованиях надежности АСУ и ИС теория марковских процессов получила весьма широкое применение, так как процесс функционирования элементов ИС, как правило, сопровождается простейшими потоками отказов и восстановлений. Экспоненциальное распределение времени работы до отказа и времени восстановления работоспособности - необходимое условие для марковского процесса.

Важнейшая характеристика марковского процесса - вероятность перехода объекта в то или иное состояние за заданный промежуток времени. Информация о вероятностях перехода объекта в различные состояния позволяет определить вероятности каждого из возможных состояний процесса.

Опишем методику определения вероятностей состояний марковского процесса.

Пусть объект исследования может находиться в некоторых состояниях, число которых конечно (равно n). Номера состояний 0, 1, 2, . . ., n. Из i-го состояния в j-е объект переходит с постоянной интенсивностью λ_ij , обратно – с постоянной интенсивностью μ_ji.

На рис.1 представлен граф состояний объекта с резервированием. В этом случае число состояний такой схемы равно 3.

Рис. 1. Схема резервированного объекта ( а ) и граф его состояний ( б ).

Для рассматриваемого примера состояние 0 - оба элемента, входящие в объект, работоспособны,

состояние 1 - один из элементов, входящих в объект, в отказовом состоянии,

состояние 2 - оба элемента, входящие в объект, в отказовом состоянии.

Для опредления вероятностей нахождения такой системы в каждом состоянии можно воспользоваться методом построения дифференциальных уравнений, предложенным, академиком А.Н. Колмогоровым. Например, система дифференциальных уравнений для определения вероятностей каждого из состояний рассматриваемой системы будет иметь вид:

Получить систему уравнений (1) можно на основе графа состояний. Для этого необходимо использовать следующее правило: для каждого из возможных состояний объекта записывается уравнение, в левой части которого dP_i/dt, а справа — взвешенная сумма вероятностей перехода для каждой входящей или исходящей стрелки. Вероятность перехода по стрелке определяется как произведение интенсивности перехода и вероятности исходного состояния. Вес вероятности перехода равен 1, если стрелка входящая, и -1 - если исходящая.

Решение системы уравнений (1) осуществляется по известным правилам решения систем дифференциальных уравнений. Однако его можно существенно упростить, если предположить, что рассматриваемый процесс - стационарный марковский процесс, для которого производные dP_i/dt можно принять равными нулю (вероятности состояний не меняются с течением времени). Система дифференциальных уравнений (1) переходит при этом в систему алгебраических уравнений:

Четвертое уравнение этой системы (при трех неизвестных) становится необходимым потому, что первые три уравнения сводятся к двум. Решая систему (2) одним из численных методов, получим вероятности состояний исследуемого объекта.

2. Пусть дана информационная (вычислительная) система, в процессе функционирования которой могут иметь место следующие события (рис.2.):

Рис.2.

Введем следующие обозначения состояний ИС:

1 — работоспособное состояние ИС;

2 — в системе имеется ошибка (сбой или отказ);

3 — ошибка локализована

4 — ошибка исправлена

5 — ошибка не исправлена, система восстановлена

Модель состояний ИС можно представить в виде графа состояний и переходов (рис. 3). Эта модель позволяет непосредственно определить вероятности пребывания ИС в отдельных состояниях путем решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова.

Рис. 3. Граф состояний и переходов ИС с учетом процесса восстановления.

Задание на работу

1. Освоить методику составления системы дифференциальных уравнений для определения вероятностей каждого из состояний системы.

2. По заданным графу состояний и интенсивностям переходов из одного состояния в другое определить вероятности состояний информационной системы (рис. 3). При выполнении расчетов интенсивности переходов μ_ij принять в пределах 0,01..1. Выбрать коэффициенты μ_ij так, чтобы для каждого состояния сумма интенсивностей входящих и исходящих переходов не превышала 1.

3. Составить отчет по работе, содержащий все пункты выполнения задания.

Контрольные вопросы

1. Приведите законы распределения вероятностей, наиболее распространенные в теории надежности.

2. Укажите признаки и свойства простейшего потока отказов.

3. Сформулируйте понятие «вероятностный процесс» и приведите примеры вероятностных процессов в информационных системах.

4. Изложите порядок определения вероятностей состояний стационарного Марковского процесса по заданным интенсивностям переходов.

Лабораторная работа № 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ