Исперсия и её свойства. Моменты случайной величины.

Дисперсия и её свойства.

– центрированная случайная величина (отклонение от ), .

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения от .

Свойства дисперсии:

1. ;

2. , где ;

3. ;

4. ;

5.

Доказательство: , ч.т.д.

6. – ковариация ( , , когда независимы).

– среднее квадратичное (квадратическое отклонение) случайной величины .

– нормированная случайная величина.

– стандартная случайная величина .

Моменты случайной величины.

Моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание величины : .

Если , то момент называется начальным. Легко видеть, что начальный момент первого порядка есть математическое ожидание величины .

Если , то момент называется центральным. Легко видеть, что центральный момент первого порядка равен нулю, а центральный момент второго порядка есть не что иное, как дисперсия.

Начальные моменты будем обозначать буквой , а центральные – буквой , указывая в обоих случаях нижним индексом порядок момента.

– коэффициент асимметрии.

– коэффициент эксцесса.

Мода для дискретного распределения – точка с максимальной вероятностью, а для непрерывного – точка максимума распределения (плотность в ней достигает максимального значения): .

– квантиль распределения порядка .

– медиана распределения.

Для НСВ квантиль определяется однозначно. Для ДСВ понятие квантили не рассматривается. Вероятность попадания величины слева и справа от медианы одинакова: .

сновные законы распределения: нормальный, равномерный, биномиальный, показательный, Пуассона.

1. Нормальный закон (для НСВ).

Случайная величина распределена по нормальному (или гауссову) закону, или имеет нормальное (гауссово) распределение, если её плотность . Нормальное распределение зависит от двух параметров: и среднего квадратического отклонения , .

2. Равномерный закон (для НСВ).

Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , если её плотность распределения . В данном случае .

3. Биномиальный закон (для ДСВ).

Дискретная случайная величина распределена по биномиальному закону, если она принимает значения в соответствии с распределением, заданным формулой . Здесь .

4. Показательный закон (для НСВ).

Случайная величина распределена по показательному (экспоненциальному) закону, если она имеет плотность распределения , где – параметр экспоненциального распределения; .

5. Закон Пуассона (для ДСВ).

ДСВ распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями ; .