Свойства дисперсии случайной величины

Числовые характеристики случайной величины

Математическое ожидание М(Х)дискретной случайной величины

Пусть случайная величина Х может принимать только значения x₁, x₂,..., x_n, вероятности которых соответственно равны p₁,p₂,…,p_n. Тогда математиче­ское ожидание М(Х)случайной величины Х определяется равенством

Из определения следует, что математическое ожидание дискретной слу­чайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическо­му значений случайной величины: .

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

M(C) = C .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

M (CX) = CM (X).

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий

M(X±Y) = M(X)±M(Y).

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимыхслучайных величин равно произведению их математических ожиданий

M (XY )= M (X) M(Y).

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю

M (X - M (X ))= 0.

Дисперсия случайной величины

Только математическое ожидание не может в достаточной степени харак­теризовать случайную величину.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений слу­чайной величины вокруг ее среднего значения.

Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

D( X) = M[X - M (X )]².

Дисперсия — это мера рассеяния случайной величины около ее математи­ческого ожидания.

Если Х — дискретная случайная величина, то дисперсию вычисляют по следующим формулам:

где а = М(Х);

d(x)=m(x² )-(m(x))².

Свойства дисперсии случайной величины

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю

d(c)=0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

d(cx)= C²d(x) .

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме
дисперсий этих величин

d(x+y)=D(x)+d(y) .

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме
их дисперсий

d(x-y)=D(x)+d(Y).

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристи­ки. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением sслучайной величины Х называ­ется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии

.

Среднее квадратическое отклонение характеризует степень отклонения случайной величины от ее математического ожидания и имеет размерность значений случайной величины.

Рассмотрим некоторые распределения дискретной случайной величины.