Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Тогда Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru - двойной интеграл Фурье.

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru Окончательно получаем:

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

- представление функции f(x) интегралом Фурье.

Двойной интеграл Фурье для функции f(x) можно представить в комплексной форме:

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Преобразование Фурье.

Определение. Если f(x) – любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом отрезке, то функция

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

называется преобразованием Фурье функции f(x).

Функция F(u) называется также спектральной характеристикой функции f(x).

Если f(x) – функция, представимая интегралом Фурье, то можно записать:

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Это равенство называется обратным преобразованием Фурье

Интегралы Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru и Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru называются соответственно косинус - преобразование Фурье и синус – преобразование Фурье.

Косинус – преобразование Фурье будет преобразованием Фурье для четных функций, синус – преобразование – для нечетных.

Преобразование Фурье применяется в функциональном анализе, гармоническом анализе, операционном исчислении, теории линейных систем и др.

Элементы теории функций комплексного переменного.

Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G.

w = f(z)

Множество D называется областью определения, множество G – областью значений функции.

Комплексную функцию можно записать в виде:

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

u, v – действительные функции от переменных х и у.

Если каждому zÎ D соответствует несколько различных значений w, то функция w=f(z) называется многозначной.

Определение. Функция Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru имеет предел в точке z0, равный числу А = a + ib, если Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Свойства функций комплексного переменного.

Для функций комплексного переменного f(z) и g(z) справедливы следующие свойства:

1) Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

2) Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

3) Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Определение. Функция Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru называется непрерывной в точке z0, если выполняется равенство

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Основные трансцендентные функции.

Определение. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими.

Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре теряет смысл.

Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

См. Представление функций по формуле Тейлора.

Функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера (см. Уравнение Эйлера.) Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих рядов.

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Также справедливы равенства:

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т.д.), которые справедливы для функций действительного аргумента.

Определение. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсомназываются соответственно функции:

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2pi, а функции th z и cth z – период pi.

Пример. Найти sin(1+2i).

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной.

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Если w = u + iv, то Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru и Arg ew = Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru = v.

Тогда eu = Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru .

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Итого: Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Для комплексного числа z = a + ib Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу - student2.ru

Наши рекомендации