Нормальное или Гауссово распределение

На рис. 3а в виде диаграммы показано распределение результатов n измерений некоторой физической величины x относительно среднего значения Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru . Ось абцисс разбита на равные интервалы шириной dx. Высота каждого столбика диаграммы показывает количество N(x) близких результатов измерений, попадающих в интервал dx с центром в точке x. Пунктирная кривая (которая здесь не является симметричной) вычерчена, чтобы показать зависимость числа отсчетов N(x) от x при относительно небольшом числе измерений.

Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru

Рис. 3.

Если число измерений n становится очень большим, то результаты измерений стремятся к симметричному распределению около среднего значения (рис. 3б). Как показывается в теории вероятности, в идеальном случае такая кривая описывается аналитическим выражением

Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru , (4)

где n - очень большое число измерений, Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru - среднее значение, а s - стандартное отклонение, определяемое по формуле (2) при условии n ® ¥. Величина s2 называется дисперсией. Уравнение (4) представляет собой распределение Гаусса или нормальное распределение.

Для большого числа измерений n распределение Гаусса описывает теоретическое распределение измеренных значений x относительно среднего значения Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru . Если измерения выполняются с высокой точностью, то s будет малым, и нормальное, или Гауссово, распределение будет иметь острый пик при x = Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru (рис. 4).

Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru

Рис. 4.

Разделив обе части уравнения (4) на n и определив N(x)/n как Р(x), имеем:

Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru . (5)

Выражение (5) имеет смысл плотности вероятности того, что в результате измерения мы получим значение х. Таким образом, вероятность того, что измеренное значение x будет лежать в некотором интервале x1 < x < x2, определяется площадью под соответствующим участком кривой:

Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru .

Заметим, что наиболее вероятным значением, которое можно ожидать в результате измерения, является среднее значение. Следует также отметить, что полная площадь под кривой, представляющей функцию P(x), всегда равна единице:

Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru .

Особенностью распределения Гаусса является то, что 68% всех результатов измерений попадают в интервал от Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru до Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru , 95% всех результатов измерений попадают в интервал от Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru до Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru , а 99,7% всех результатов измерений попадают в интервал от Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru до Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru . Другими словами, с вероятностью 0,68 истинное значение величины x лежит в интервале Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru , с вероятностью 0,95 – в интервале Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru , и т.д.

Следует иметь в виду, что распределение Гаусса не является единственно возможным. Могут существовать и другие виды распределений, например, распределение Пуассона, экспоненциальное распределение, c2-распределение и т.д. Тем не менее, нормальное распределение встречается достаточно часто, причём все остальные распределения в пределе (при n® ¥) переходят в распределение Гаусса.

На практике, однако, число измерений обычно сравнительно невелико. В этом случае для повышения достоверности результатов измерений следует при оценке погрешности пользоваться модифицированными формулами. Так, абсолютная погрешность Dx измеряемой величины x при относительно малом (скажем, менее 10) количестве измерений определяется как:

Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru , (6)

где ta,n – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и от величины доверительной вероятности a. Значения коэффициентов ta,n для некоторых различных значений n и a приведены в табл. 1.

В соответствии с действующими государственными стандартами рекомендуется при оценке погрешностей пользоваться доверительной вероятностью a = 0,95.

Таблица 1.

Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru n a 0,90 0,95 0,98
6,31 12,71 31,82
2,92 4,30 6,96
2,35 3,18 4,54
2,13 2,78 3,75
2,02 2,57 3,36
1,94 2,45 3,14
1,90 2,36 3,00
1,86 2,31 2,90
1,83 2,26 2,82

Таким образом, окончательный результат измерений запишется в виде:

Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru , (a), (7)

где Dx определяется из выражения (6). Запись (7) означает, что истинное значение величины x с вероятностью a находится в интервале значений от Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru до Нормальное или Гауссово распределение - student2.ru .

Наши рекомендации