Вариации произвольных постоянных

Для нахождения общего решения y’’ + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) y’ + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) y = f (x) необходимо найти частное решение вариации произвольных постоянных - student2.ru .

Его можно найти из общего решения уравнения y’’ + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) y’ + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) y = 0 некоторых вариаций произвольных постоянных

вариации произвольных постоянных - student2.ru = вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru (5.6)

вариации произвольных постоянных - student2.ru = вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru = вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru

Подставим в (5.1)

вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru +

вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru = f (x)

вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru = f (x)

вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru = W (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru 0

вариации произвольных постоянных - student2.ru = вариации произвольных постоянных - student2.ru (x)

вариации произвольных постоянных - student2.ru = вариации произвольных постоянных - student2.ru (x)

Интегрированием найдем вариации произвольных постоянных - student2.ru и вариации произвольных постоянных - student2.ru

Затем по формуле (5.6) составим общее решение

Теорема (5.2) : о наложение решения

Если правая часть уравнения y’’ + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) y’ + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) y = f (x) представляет собой сумму 2-ух функций:

f(x) = вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) ,

а вариации произвольных постоянных - student2.ru u вариации произвольных постоянных - student2.ru - частное решение уравнения

вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) y ‘ + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) y = вариации произвольных постоянных - student2.ru (x)

вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) y ‘ + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) y = вариации произвольных постоянных - student2.ru (x)

То функция вариации произвольных постоянных - student2.ru

Является решение данного уравнения

вариации произвольных постоянных - student2.ru ( вариации произвольных постоянных - student2.ru ) ‘’ + вариации произвольных постоянных - student2.ru вариации произвольных постоянных - student2.ru ) ‘ + вариации произвольных постоянных - student2.ru вариации произвольных постоянных - student2.ru ) ‘= вариации произвольных постоянных - student2.ru ‘’ + вариации произвольных постоянных - student2.ru вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru вариации произвольных постоянных - student2.ru + ( вариации произвольных постоянных - student2.ru ) ‘’ + вариации произвольных постоянных - student2.ru вариации произвольных постоянных - student2.ru ) ‘ + вариации произвольных постоянных - student2.ru вариации произвольных постоянных - student2.ru = вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) = f(x)

10. Уравнение Бернулли. вариации произвольных постоянных - student2.ru

11. Уравнение Риккати.:

Уравнение Риккати является одним из наиболее интересных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в форме:

вариации произвольных постоянных - student2.ru

где a(x), b(x), c(x) − непрерывные функции, зависящие от переменной x.

Уравнение Риккати встречается в различных областях математики (например, в алгебраической геометрии и в теории конформных отображений) и физики. Оно также нередко возникает в прикладных математических задачах.

Приведенное выше уравнение называется общим уравнением Риккати. Его решение основано на следующей теореме:

Теорема: Если известно частное решение y1 уравнения Риккати, то его общее решение определяется формулой

вариации произвольных постоянных - student2.ru

Действительно, подставляя решение y = y1 + u в уравнение Риккати, имеем:

вариации произвольных постоянных - student2.ru

Подчеркнутые члены в левой и правой части можно сократить, поскольку y1 − частное решение, удовлетворяющее уравнению. В результате мы получаем дифференциальное уравнение для функции u(x):

вариации произвольных постоянных - student2.ru

Второй вариант риккати(писать только один из)

вариации произвольных постоянных - student2.ru

В общем случае не интегрированно в квадратурах

Однако если известно одно частное решение вариации произвольных постоянных - student2.ru , то уравнение Риккати можно свести к уравнению Бернулли

Для этого положим сделаем замену:

y = вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru + p(x) вариации произвольных постоянных - student2.ru + p (x) z + q (x) * вариации произвольных постоянных - student2.ru + q (x) * 2 вариации произвольных постоянных - student2.ru z + q (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru = f (x)

вариации произвольных постоянных - student2.ru + p(x) z + 2q (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru z +q(x) вариации произвольных постоянных - student2.ru = 0

вариации произвольных постоянных - student2.ru +z (p (x) + 2q (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru ) + q (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru =0

n=2 Бернули

12. Уравнение Лагранжа.:

вариации произвольных постоянных - student2.ru

13. Уравнение Клеро.:

вариации произвольных постоянных - student2.ru вариации произвольных постоянных - student2.ru

14. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Случаи понижения порядка. вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru вариации произвольных постоянных - student2.ru

15. Линейные дифференциальные уравнения n го порядка. Вронскиан. Фундаментальная система решений.:

вариации произвольных постоянных - student2.ru вариации произвольных постоянных - student2.ru

16. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение:

Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных

дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными

коэффициентами.

вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru

17. Линейные неоднородные уравнения. Отыскание частного решения в случае уравнения с квазиполиномом:

вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru

Квазиполином Эйлера: Рассмотрим ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами : y’’ + p y’ + q y = f(x) (5.7) Можно искать частное решение вариации произвольных постоянных - student2.ru методом Лагранжа, однако в некоторых случаях вариации произвольных постоянных - student2.ru можно найти проще Рассмотрим эти случаи :1. f(x) = вариации произвольных постоянных - student2.ru , вариации произвольных постоянных - student2.ru -многочлен степени n. 2.f(x) = вариации произвольных постоянных - student2.ru ( вариации произвольных постоянных - student2.ru cos β x + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) sin β x). В этих случаях f(x) называют квазиполиномом ЭЙЛЕРА. В этих случаях записывают ожидаемую форму решения вариации произвольных постоянных - student2.ru с неопределенными коэффициентами и подставляют в ур-е (5.1). Из полученного тождества находят значение коэффициентов. Случай 1 : правая часть (5.7) имеет вид :f(x) = вариации произвольных постоянных - student2.ru α вариации произвольных постоянных - student2.ru R вариации произвольных постоянных - student2.ru -многочлен степени n. Ур-е (5,7) запишется в виде: y’’ + p y’ + q y = вариации произвольных постоянных - student2.ru (5.8) В этом случае частное реш-е вариации произвольных постоянных - student2.ru ищем в виде: вариации произвольных постоянных - student2.ru = вариации произвольных постоянных - student2.ru Qn (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru (5.9) где r – число = кратности α как корня характеристического ур-я вариации произвольных постоянных - student2.ru + p k + q = 0,т.е. r – число,показывающее сколько раз α явл-я корнем ур-я вариации произвольных постоянных - student2.ru + p k + q = 0, При этом Qn (x) = вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru + …. + An –многочлен степени n, записанный с неопределёнными коэффициентами Ai (i= 0, 1, 2,…n) А) Пусть α не является корнем характеристического ур-я : вариации произвольных постоянных - student2.ru + p k + q = 0,т.е. α вариации произвольных постоянных - student2.ru , r = 0 и решение ищем в виде вариации произвольных постоянных - student2.ru = Q n (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru Б) Пусть α является однократным(простым) корнем характеристического ур-я вариации произвольных постоянных - student2.ru + p k + q = 0, α = вариации произвольных постоянных - student2.ru r = 1, вариации произвольных постоянных - student2.ru = x Q n (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru В) Пусть α = вариации произвольных постоянных - student2.ru является 2-хкратным корнем характеристического ур-я вариации произвольных постоянных - student2.ru + p k + q = 0 , r = 2 вариации произвольных постоянных - student2.ru = вариации произвольных постоянных - student2.ru Q n (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru Случай 2 : Правая часть (5.7) имеет вид :f(x) = вариации произвольных постоянных - student2.ru ( вариации произвольных постоянных - student2.ru ) cosβx + Q m (x) sin β (x ) ,Где вариации произвольных постоянных - student2.ru )и Qm (x) многочлены степени n и m соответственно, α и β - действительного числа, тогда ур-е (5.7) запишется в виде y’’ + py’ + qy = вариации произвольных постоянных - student2.ru ( вариации произвольных постоянных - student2.ru ) cosβx + Qm (x) sinxβ ) (5.10) В это случае частное решение: вариации произвольных постоянных - student2.ru = вариации произвольных постоянных - student2.ru вариации произвольных постоянных - student2.ru * (Ml (x) cosβx + N l (x) sin βx ) (5.11) r-число равное кратности (α + βi) как корня уравнения : вариации произвольных постоянных - student2.ru + pk + q = 0, Me (x) и Ne (x)-многочлены степени l с неопределёнными коэффициентами. l –наивысшая степень многочленов вариации произвольных постоянных - student2.ru )и Qm (x), l =max( n,m). Замечание 1 :После подстановки функции (5.11) в (5.10) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригоном. функциями в левой и правой частях ур-я. Замечание 2 : Формула (5.11) сохраняется и при вариации произвольных постоянных - student2.ru ) вариации произвольных постоянных - student2.ru 0 и Qm (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru 0. Замечание 3 : Если правая часть ур-я (5.7) есть сумма функций вида 1 и 2 , то для нахождения вариации произвольных постоянных - student2.ru следует использовать теорему (5.2) о наложении решений. Теорема (5.2) : о наложении решений: Если правые части ур-я (5.1) представляют собой сумму 2-х функций:f(x) = вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) ,а вариации произвольных постоянных - student2.ru u вариации произвольных постоянных - student2.ru - частные решения ур-я вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) y ‘ + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) y = вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) y ‘ + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) y = вариации произвольных постоянных - student2.ru (x)То вариации произвольных постоянных - student2.ru является решение данного ур-я. Интегрирование ЛНДУ п-го порядка (n вариации произвольных постоянных - student2.ru постоянным коэффициентом и правой частью специального вида. Рассмотрим ЛНДУ n-го порядка вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru + … + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x)y = f(x) где вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) , …, вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) , f(x) заданы непрерывной функцией на интервале (а, b) . Соотв. однородное ур-е вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru + … + вариации произвольных постоянных - student2.ru (x)y = 0. Общее решение y ЛНДУ n-го порядка = сумме частного решения вариации произвольных постоянных - student2.ru НУ и общего решения вариации произвольных постоянных - student2.ru ОУy= вариации произвольных постоянных - student2.ru . вариации произвольных постоянных - student2.ru может быть найдено если известно общее решение вариации произвольных постоянных - student2.ru ОУ вариации произвольных постоянных - student2.ru = вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru + … + вариации произвольных постоянных - student2.ru гдеyi(x) – частное реш-е образующее фундаментальную систему решений ОУ.Для нахождения Сi(x)составляется система ур-й вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru + … + вариации произвольных постоянных - student2.ru = 0 вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru + … + вариации произвольных постоянных - student2.ru = 0 вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru + … + вариации произвольных постоянных - student2.ru = 0 вариации произвольных постоянных - student2.ru + вариации произвольных постоянных - student2.ru + … + вариации произвольных постоянных - student2.ru = f (x)Однако для ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть f(x) которого имеет специальный вид, вариации произвольных постоянных - student2.ru можно найти методом неопределенных коэф-в.Метод подбора частного решения вариации произвольных постоянных - student2.ru для уравнения y’’ + вариации произвольных постоянных - student2.ru вариации произвольных постоянных - student2.ru + … + вариации произвольных постоянных - student2.ru y = f (x) вариации произвольных постоянных - student2.ru вариации произвольных постоянных - student2.ru R,где f (x) квазиполином Эйлера тот же что и при n=2.

18. Линейные неоднородные уравнения. Отыскание частного решения методом вариации произвольных постоянных.:

вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru

19. Системы дифференциальных уравнений. Запись задачи в матричной форме:

вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru

20. Сведение систем дифференциальных уравнений к одному уравнению более высокого порядка.:

вариации произвольных постоянных - student2.ru

вариации произвольных постоянных - student2.ru вариации произвольных постоянных - student2.ru

Наши рекомендации