Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка

1. Равенство вида Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка, называется дифференциальным уравнением.

2. Натуральное число n, являющееся порядком старшей производной, называется порядком дифференциального уравнения.

3. Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru или в дифференциалах Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru . Если эти равенства можно разрешить относительно производной, то их записывают в виде Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru или Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru .

4. Решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = j(x), имеющая непрерывную производную Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru на некотором интервале (a; b) и обращающая уравнение в верное числовое равенство.

5. Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка: требуется найти решение y = j(x) уравнения, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0.

6. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = j(x; С), содержащая произвольную постоянную С и удовлетворяющая условиям: 1) при любых начальных условиях (x0; y0) уравнение y0 = j(x0; С) должно быть разрешимо относительно С так, что С = y(x0; y0); 2) при всех значениях постоянной С = y(x0; y0) функция y = j(x; y(x0; y0)) должна удовлетворять дифференциальному уравнению.

7. Всякое решение, получаемое из общего при фиксированном значении постоянной С называется частным решением дифференциального уравнения.

8. Уравнение вида Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru или Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Приводятся к виду Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru или Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru путем разделения переменных x и y и затем почленно интегрируются.

9. Уравнение вида Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru называется однородным дифференциальным уравнением. Используется замена: Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru или Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , где Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru – новая неизвестная функция, тогда Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru . Сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции, для которого находят общее решение. Записывают общее решение исходного уравнения по формуле Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru .

10. Уравнение вида Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru называется линейным дифференциальным уравнением. Используется метод Бернулли: Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , где Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru – новые неизвестные функции, тогда Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru . Получаем: Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru или Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru . Подберем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, тогда получаем Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru Первое уравнение – ДУ с разделяющимися переменными, находим его частное решение при С = 0. Найденное частное решение подставляем во второе уравнение, являющееся тоже ДУ с разделяющимися переменными и находим его общее решение. Записываем общее решение исходного уравнения по формуле Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru .

11. Уравнение вида Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , где Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru называется дифференциальным уравнением Бернулли. Используется метод Бернулли: Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru .

12. Дифференциальным уравнением 2-го порядка называется уравнение вида Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru . Если уравнение можно разрешить относительно Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , то его записывают в виде Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru .

13. Решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = j(x), имеющая непрерывные производные Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru на некотором интервале (a; b) и обращающая уравнение в верное числовое равенство.

14. Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка: требуется найти решение y = j(x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = y0, Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru при x = x0.

15. Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = j(x; С1; С2), содержащая две произвольные постоянные С1, С2 и удовлетворяющая условиям: 1) при любых начальных условиях Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru система уравнений Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru должна быть разрешима относительно постоянных С1, С2 так, что Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru 2) при всех значениях этих постоянных С1, С2 функция y = j(x; C1; C2) обращает дифференциальное уравнение в верное числовое равенство.

16. Всякое решение, получаемое из общего при фиксированных значениях постоянных С1, С2 называется частным решением дифференциального уравнения.

17. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка:

а) Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru решается повторным интегрированием.

б) Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , явно не содержащее искомой функции Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru . Используется замена: Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , где Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru – новая неизвестная функция, тогда Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru . Для нового уравнения относительно функции p находим общее решение и подставляем его в формулу Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru . Получаем ДУ с разделяющимися переменными относительно функции y, находим его общее решение.

в) Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , явно не содержащее независимой переменной Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru . Замена: Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , где Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , тогда Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru . Для нового уравнения относительно функции p находим общее решение и подставляем его в формулу Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru . Получаем ДУ с разделяющимися переменными относительно функции y, находим его общее решение.

18. Линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru . Составляется характеристическое уравнение Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru .

Если Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , то Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru и общее решение исходного уравнения имеет вид: Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru .

Если Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , то Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru и Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru .

Если Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , то Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru и Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru .

19. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида называется уравнение вида Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru . Его общее решение ищется в виде Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , где Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru – общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , а Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru – какое-либо частное решение исходного уравнения.

Если Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , где a – некоторое число, Pn(x) – многочлен степени n, то Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , где Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru – многочлен степени Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru с неопределенными коэффициентами, Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru – число, равное кратности a как корня характеристического уравнения Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru .

Если Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , где a, b – некоторые числа, Pn(x), Qm(x) – многочлены степени n и m соответственно, то Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , где Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru – многочлены степени Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru с неопределенными коэффициентами, Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru – число, равное кратности Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru как корня характеристического уравнения Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru .

20. Система дифференциальных уравнений вида

Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru

где Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru ,…, Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru – неизвестные функции независимой переменной Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , называется нормальной системой.

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru ,…, Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , то система дифференциальных уравнений называется линейной.

21. а) Если дана система Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru

то эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , где

Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru ; Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru ; Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru .

Решение системы ищем в виде Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru ,…, Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru . Подставив значения Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru ,…, Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru в систему дифференциальных уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru ,…, Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru :

Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru

Система должна иметь ненулевое решение, поэтому для определения Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru получаем уравнение Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru – й степени:

Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru

Пусть это характеристическое уравнение имеет Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru различных корней Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru ,…, Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru . Тогда система дифференциальных уравнений имеет Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru решений:

1-е решение, соответствующее корню Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru :

Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru ; Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru ;…; Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru

2-е решение, соответствующее корню Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru :

Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru ; Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru ;…; Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru ;

…………………………………………………………………….

Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru – е решение, соответствующее корню Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru :

Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru ; Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru ;…; Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru .

Получена фундаментальная система решений. Общее решение системы имеет вид

Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru

Такой способ решения называется решением линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при помощи матриц (видоизмененный метод Эйлера).

б) Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru – го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (так называемый метод исключения).

Ряды

1. Пусть дана бесконечная последовательность чисел а1, а2, …, аn. Числовым рядом называется сумма вида Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru .

2. Если существует конечный предел Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru частичной суммы Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , то соответствующий числовой ряд Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru называется сходящимся и его сумма равна S. В противном случае числовой ряд называется расходящимся.

3. Основные свойства сходящихся числовых рядов:

а) Необходимый признак сходимости: если числовой ряд Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru сходится, то Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru .

б) Достаточное условие расходимости: если Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , то числовой ряд Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru расходится.

в) Если все члены сходящегося числового ряда Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru умножить или разделить на число Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru , то получится сходящийся ряд Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru .

г) Если два сходящихся числовых ряда Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru и Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru почленно сложить (или вычесть), то получатся сходящиеся ряды Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru (или Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка - student2.ru ).

Наши рекомендации