Определение положения твердого тела в пространстве.

Чтобы определить положение твердого тела в пространстве, зададим прежде всего положение какой-нибудь одной его «ос­новной точки», или полюса О' при помощи вектор-радиуса Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru этой точки (рис.40) или ее координат ( Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru ). Тело мо­жет вращаться около фикси­рованного положения полюса О', поэтому для определения положения тела в простран­стве нужно еще задать три эй­леровых угла тела по отноше­нию к системе Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru , оси кото­рой параллельны неподвижым осям Охуz, а начало на­ходится в полюсе О. Так, твердое тело в про­странстве имеет шесть степе­ней свободы, характеризуемых величинами

Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru Имея заданными эти шесть величин, легко составить и урав­нения движения любой точки М тела. Из основного равенства Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru ,проектированием его на оси неподвижной системы координат получим

Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru (2 .29)

Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru
Рис 40

Здесь Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru - направляющие косинусы- (обозначения их приняты со­гласно таблице, помещенной в предыдущем параграфе) могут быть выражены через эйлеровы углы; величины х', у', z' — заданные постоянные, оп­ределяющие выбор точки, движение которой разыскивается, Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru - заданные функции времени. Таким образом, уравнения (2.29) дают уравнения движения точек тела.

Всякое перемещение тела в пространстве может быть, осу­ществлено поступательным перемещением вместе с полюсом и одним поворотом вокруг оси, проходящей через полюс.

В дополнение к вышесказанному добавим, что вектор поворота тела не зависит от выбора полюса, т. е. при перемене по­люса будет меняться только поступательное перемещение, а ось, угол и направление поворота не будут изменяться.

Скорости и ускорения в общем случае движения

Твердого тела.

Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru Перемещение любой точки тела, как было показано, скла­дывается из поступательного перемещения, равного перемеще­нию полюса, и вращательного вокруг оси, проходящей через полюс. Если рассматривать только бесконечно малые переме­щения тела, соответствующие переходу тела из данного поло­жения в бесконечно близкое, то с точностью до бесконечно малых высших порядков можно представить вращательное перемещение как векторное произведение вектора бесконечно малого поворота Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru на вектор-радиус рассматриваемой точки по отношению к полюсу .

Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru . Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru

Так как Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru , то Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru , где Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru -скорость полюса, разделив полученное выражение на Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru , получим

Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru . (2.30)

Эта основная формула кинематики твердого тела дает закон распределения скоростей в твердом теле в общем случае его движения.

Слагаемое Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru определяет поступательную составляющую скорости, равную скорости по­люса, второе слагаемое представляет собой вращатель­ную составляющую скорости тела вокруг полюса О'.

Зная движение полюса и закон вращения тела вокруг по­люса, т. е. имея уравнения движения, можем по формуле (2.30) определить скорость любой точки тела. Проекции скорости на оси получим по общим правилам проектирования векторных выражений. Выпишем проекции скорости на неподвижные оси:

Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru

Здесь Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru Переходим к рассмотрению вопроса о распределении уско­рений. Для этого продифференцируем левую и правую части (49) по времени; получим

Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru

или

Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru (2.31)

Первое слагаемое Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru определяет поступательное ускорение, равное ускорению полюса, а второе и третье: Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru и Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru - вращательную и центростремительную состав­ляющие ускорения вращения тела вокруг полюса. Таким образом, полу­чаем: ускорение точки твер­дого тела в общем случае его движения склады­вается из трех состав­ляющих: 1) поступатель­ного ускорения, одинакового в данный момент для всех точек тела и равного ускорению полюса; 2) вращательного ускорения вокруг полюса ( Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru направлено по мгновенной оси и характеризует изменение угловой скорости по величине, Определение положения твердого тела в пространстве. - student2.ru - характеризует изменение угловой скорости по направлению и оно перпендикулярно мгновенной оси), 3) осе­стремительного ускорения, равного по величине произведению квадрата угловой скорости на кратчайшее расстояние от точки до мгновенной оси вращения.

Глава 8.

Наши рекомендации