Вираз скалярного добутку через координати векторів та обчислення кута між векторами
Решение.
В матричной форме исходная система запишется как , где . Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем , следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как . Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее.
Мы знаем, что для матрицы обратная матрица может быть найдена как , где - алгебраические дополнения элементов .
В нашем случае
Тогда
Выполним проверку полученного решения , подставив его в матричную форму исходной системы уравнений . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.
Следовательно, решение найдено верно.
Ответ: или в другой записи .
69.
Скалярний добуток двох векторів
Def. Скалярним добутком двох векторів і називають число (або ), що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
.
Якщо хоча б один із векторів чи нульовий, то за означенням
.
Оскільки виконуються рівності
, ,
то
.
Геометричний зміст скалярного добутку.
| Рис. 14.Геометричний змістскалярного добутку | Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного вектора на проекцію на нього другого вектора (рис. 14). Тоді . (5.1) |
Формула (5.1) – робоча формула для обчислення проекції вектора на вектор (або вісь).
Властивості скалярного добутку
Алгебраїчні властивості скалярного добутку :
1) ;
2) ;
3) .
Геометричні властивості скалярного добутку:
1) якщо та , то , якщо кут гострий, і , якщо кут тупий;
2) скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні;
3) скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини, тобто ,
звідки . (5.2)
Умова перпендикулярності двох векторів.
Ненульові вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:
. (5.3)
Зокрема: , , .
Вираз скалярного добутку через координати векторів та обчислення кута між векторами
Нехай вектори і задані своїми координатами
, .
Тоді
(5.4)
Справді,
оскільки , , та .
Висновки з формули (5.4) такі:
1) умова перпендикулярності векторів і :
;
2) довжина вектора : ;
3) косинус кута між векторами і :
Скалярное произведение
Скалярное произведение векторов и :
где - угол между векторами и ; если либо , то
Из определения скалярного произведения следует, что где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора .
Скалярный квадрат вектора:
Свойства скалярного произведения:
Скалярное произведение в координатах
Если то
Угол между векторами
Векторное произведение
Векторное произведение векторов и - вектор, обозначаемый или для когорого:
1) ( - угол между векторами и , );
2)
3) тройка , , - правая.
Свойства векторного произведения: если , то равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .
72.
Загальне рівняння прямої
Загальне рівняння прямої лінії на площині в декартових координатах :
де A , B і C - Довільні постійні, причому постійні A і B не рівні нулю одночасно. Вектор з координатами (A, B) називається нормальним вектором і він перпендикулярний прямій. Вектор з координатами (-B, A) або (B,-A) називається направляючим вектором.
При C = 0 пряма проходить через початок координат. Також рівняння можна переписати у вигляді:
Нормальный вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на любой прямой перпендикулярной данной.
Если в общем уравнении прямой
(1)
один или два из трех коэффициентов (считая и свободный член) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:
1). С=0; уравнение имеет вид и определяет прямую, проходящую через начало координат.
2). В=0 (А 0); уравнение имеет вид и определяет прямую, перпендикулярную к оси Ох. Это уравнение может быть записано в виде х=а, где является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Ох, считая от начала координат.
3). В=0, С=0 (А 0); уравнение может быть записано в виде х=0 и определяет ось ординат.
4). А=0 (В 0); уравнение имеет вид и определяет прямую, перпендикулярную к оси Оу. Это уравнение может быть записано в виде y=b, где является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.
5). А=0, С=0 (В 0); уравнение может быть записано в виде у=0 и определяет ось абсцисс.
Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду
, (2)
где , суть величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях.
Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках».
Если две прямые даны уравнениями
и ,
то могут представиться три случая:
а). - прямые имеют одну общую точку;
б). - прямые параллельны;
в). - прямые сливаются, то есть оба уравнения определяют одну и ту же прямую.