Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция

Пусть функции z₁(x,y) и z₂(x,y) определены и непрерывны в ограниченной замкнутой области D и z₁(x,y) £ z₂(x,y). Область G={(x,y,z)|(x,y)ÎD , z₁(x,y) £ z £ z₂(x,y)} называется z–цилиндрической. Аналогично определяются х–цилиндрическая и y–цилиндрическая области. Область G называется простой, если ее можно разбить на конечное число как х–цилиндрических, так и y–цилиндрических и z‑цилиндрических областей.

Теорема. Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), и их частные производные непрерывны в простой замкнутой области G, ограниченной кусочно-гладкой поверхностью Ф. Тогда справедлива формула

, (1)

где поверхностный интеграл берется на внешней стороне поверхности Ф, которая служит границей G.

Формула (1) называется формулой Остроградского-Гаусса.

Следствие. Если функции P, Q, R таковы, что , то интеграл в левой части равенства

(1) равен объему области G, т.е. , и из формулы (1) получается формула для вычисления объема области G с помощью интеграла по ее поверхности:

(2)