Непрерывность функции, точки разрыва

Функция называется непрерывной в точке х₀, если:

1) x₀ Î ООФ вместе с некоторой своей окрестностью;

2) существует конечный предел ;

3) этот предел совпадает со значением функции в точке х₀, т. е.

. (9)

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Если функция не является непрерывной в точке х₀, но она определена в окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки х₀), то х₀ называется точкой разрыва функции.

Для определения вида разрыва в точке х₀ находят односторонние
пределы и . При этом:

если существуют односторонние пределы , но , то говорят, что функция терпит в точке х₀ разрыв типа выколотой точки;

если существуют односторонние пределы
и , но , то не существует; в этом случае
говорят, что функция терпит в точке х₀ разрыв типа"скачок";

если левосторонний либо правосторонний (или оба) пределы функции при х₀ бесконечные, то говорят, что функция терпит в точке х₀ бесконечный разрыв.

Разрывы типа выколотой точки и типа "скачок" относятся к конечным разрывам, или разрывам I рода, бесконечные разрывы относятся к разрывам II рода.

Примеры.

1) Функция непрерывна в силу непрерывности функций y = –х и y = 2х. В точке х = 0 функция также
непрерывна, так как

.

Следовательно, функция непрерывна для всех (рис. 9).

2) Функция непрерывна в силу непрерывности функций y = 2 + х и y = 3. В точке х = 0 функция терпит разрыв типа"скачок" (рис. 10), так как , следовательно, не существует.

3) Функция y = tg x непрерывна во всех точках своей ООФ, т. е. для . В точках функция терпит разрывы
II рода (рис. 11), так как ;

Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11

Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение вида

z = x + iy, (10)

где х, у – действительные числа, а i – мнимая единица, т. е. число, для
которого выполнено равенство i² = –1.

Если х = 0, то комплексное число z = 0 + iy называется чисто мнимым.

Если у = 0, то комплексное число z = x + i0 = х является действительным, в частности, если х = у = 0, то z = 0.

На множестве комплексных чисел алгебраическое уравнение n-й
степени вида , где a_k – числа, ,имеет ровно n корней.

Пример. Решим уравнение: х² + 9 = 0.

.

Следовательно, уравнение имеет 2 корня: .

На координатной плоскости Оху комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой М(х; у) или радиус-вектором этой точки (рис. 12), где х = Re z – действительная часть числа z, у = Im z – мнимая часть числа.

Рис. 12

Число называется сопряженным комплексному числу . Геометрически точки z и симметричны относительно оси Ох (рис. 12).

Модулем комплексного числа называется действительное неотрицательное число . Геометрически модуль комплексного числа – это модуль вектора (рис. 12).

Комплексное число можно задать либо парой действительных чисел (декартовы координаты точки (х; у)), либо его модулем и величиной угла φ между вектором и положительным направлением оси Ох (полярные координаты точки (r; φ)). Величина угла φ называется аргументом комп-лексного числа.

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого . Значение аргумента, заключенное
в промежутке , называется главным значением аргумента и обозначается arg z, тогда можно записать:

(11)

Для комплексного числа z = 0 аргумент не определен, его модуль r = 0.

Запись комплексного числа в виде (10) называют алгебраической
формой комплексного числа.

Если использовать формулы связи между декартовыми и полярными координатами , то можно записать тригонометрическую форму комплексного числа:

, (12)

где

. (13)

Для определения главного значения аргумента можно использовать формулы:

(14)

Пример. Получим тригонометрическую форму комплексного числа z = –2 – 2i, используя формулы (13) и (14).

,

,

следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа z для имеет вид:

.