Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения высших порядков

Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется уравнение вида F(x,y,y’,…,y⁽ⁿ⁾)=0 здесь F(x,y,y’,…,y⁽ⁿ⁾) может на самом деле не зависеть от некоторых из величин x,y,y’,… Однако если уравнение именно n-го порядка, то F обязательно зависит от y⁽ⁿ⁾.

Наиболее простым ДУ оказывается, когда оно имеет вид y⁽ⁿ⁾=f(x), где f(x) – заданная функция.

Общим решением ДУ n-го порядка называется функция: y=ф(x,C₁,C₂,…,C_n), существенно зависящая от n произвольных постоянных и обращающая уравнение: F(x,y,y’,…,y⁽ⁿ⁾)=0 в тождество при любых значениях этих постоянных.

Решения, получаемые из общего при закреплении постоянных C₁,C₂,…,C_n, называются частными.

Замечание: например функция y=(C²₁+2C²+C³)x+C₄+6C₅ существенно зависит лишь от 2-х постоянных С’=C²₁+2C₂+C₃ и С’’=C₄+6C₅ и может быть записана в виде y=C’x+C’’

Случаи понижения порядка ДУ

Возьмём, например ДУ 2-го порядка, общий вид его будет таков F(x,y,y’,y’’)=0

Отметим некоторые его виды, когда его решение сводится к последовательному решению двух ДУ 1-го порядка.

1.Уравнение не содержит искомой функции y, т.е. имеет вид F(x,y’,y’’)=0

В этом случае надо ввести новую неизвестную функцию z, положив y’=z. Тогда y’’=z’ и =>

F(x,z,z’)=0 т.е. оказывается уравнением первого порядка относительно z.

Решив его найдём z=ф(x,C₁), y’=ф(x,C₁), а тогда y=Sф(x,С₁)dx+С₂

После замены может получиться уравнение с разделяющимися переменными, однородное уравнение первого порядка, а также некоторые другие интересности.

2.Когда уравнение не содержит независимой переменной x, т.е. имеет вид F(y,y’,y’’)=0

В данном уравнении в явном виде не участвует переменная х. Подстановка здесь более замысловата. Первую производную заменим некоторой пока еще неизвестной функцией , которая зависит от функции «игрек»: . Надо обратить внимание, что функция – это сложная функция. Внешняя функция – «зет», внутренняя функция – «игрек» («игрек» сам по себе является функцией).

Находим вторую производную. По правилу дифференцирования сложной функции: .

В принципе, можно запомнить данную замену формально и коротко: и

Цель замены – опять же понизить порядок уравнения: Если – функция, зависящая от «игрек», то первая производная в дифференциалах расписывается так: . Далее разделяем переменные и интегрируем, после чего проведем обратную замену .

3.Когда уравнение имеет вид y’’=z(dz/dy), где z=y’_x

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Линейным ДУ любого порядка называется такое ДУ, в которое неизвестные элементы y,y’,y’’,… входят в первых степенях, не перемножаясь между собой. Иными словами, это уравнение вида

A(x)y⁽ⁿ⁾+B(x)y^(n-1)+…+K(x)y’+L(x)y=M(x) где A(x), B(x)…K(x), L(x), M(x) –заданые функции от х или постоянные величины, причем A(x) 0 и уравнение можно разделить на A(x), что приводит его к виду y⁽ⁿ⁾+b(x)y^(n-1)+…..+k(x)y’+l(x)y=m(x), где положено b(x)=B(x)/A(x),…..,m(x)=M(x)/A(x)

Функция m(x) – называется свободным членом уравнения. Если m(x)=0, то уравнение называется однородным. Если же m(x) 0, то уравнение называется неоднородное, если все коэффициенты A(x), B(x)…K(x), L(x) – постоянные числа, то уравнение называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.