Дифференциальные уравнения высших порядков

• Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .

В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y.

Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.

Если дифференциальное уравнение не содержит аргумента x, то есть, имеет вид , то его порядок может быть снижен на единицу заменой , где p(y(x)) будет сложной функцией. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим

и так далее.

Подставив эти результаты в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение не единицу меньшего порядка.

К примеру, дифференциальное уравнение заменой приводится к уравнению с разделяющимися переменными .

Подробное решение подобных примеров представлено в статьедифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка.

• Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и .

Чтобы определить общее решение таких видов дифференциальных уравнений, во-первых, требуется найти корни характеристического уравнения . В этом Вам может помочь статьярешение уравнений высших степеней. Далее, отталкиваясь от значений корней характеристического уравнения, общее решение ЛОДУ записывается в стандартной форме, а общее решение неоднородного уравнения представляется суммой , где - частное решение неоднородного дифференциального уравнения. можно определить методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примера ЛНДУ с постоянными коэффициентами приведем , ему соответствует ЛОДУ .

Подробное описание теории и детальный разбор решения примеров смотрите в разделе линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

• Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков и .

Общее решение ЛНДУ высших порядков ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство в тождество. Частные решения обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

Когда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения найдено, частное решение соответствующего неоднородного уравнения можно определить методом вариации произвольных постоянных.

Итак, .

Краткое описание теории приведено в статье линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

К началу страницы

Системы дифференциальных уравнений вида

Обыкнове́нные дифференциа́льные уравне́ния (ОДУ) — это дифференциальные уравнения для функции от одной переменной. (Этим оно отличается от уравнения в частных производных, где неизвестная — это функция нескольких переменных.) Таким образом, ОДУ — это уравнения вида

где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция, тогда , как правило, тоже вектор-функция со значениями в пространстве той же размерности; в этом случае говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по . Число (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) называется порядком дифференциального уравнения (1).

Независимая переменная часто интерпретируется (особенно в дифференциальных уравнениях, возникающих в физических и других естественно-научных задачах) как время, поэтому её часто обозначают буквой . Переменная — некоторая величина (или совокупность величин, если является вектор-функцией), изменяющаяся со временем. Например, может означать набор координат точки в пространстве; в этом случае уравнение (1) описывает движение точки в пространстве, то есть изменение её координат с течением времени. Независимая переменная обычно принимает вещественные значения, однако рассматриваются и дифференциальные уравнения, в которых переменная комплексная (так называемые уравнения с комплексным временем).

Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения вида

в которых старшая производная выражается в виде функции от переменных и производных порядков меньше Такие дифференциальные уравнения называются нормальными или разрешёнными относительно производной.

В противоположность уравнениям вида (2), дифференциальные уравнения вида (1) называются уравнениями, не разрешёнными относительно производной или неявными дифференциальными уравнениями.

Классическим решением дифференциального уравнения (2) называется раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительное условие. Начальным условием для уравнения (2) называется условие

где — некоторое фиксированное значение независимой переменной (фиксированный момент времени), а и — соответственно, фиксированные значения функции и всех её производных до порядка включительно. Дифференциальное уравнение (2) вместе с начальным условием (3) называется начальной задачей или задачей Коши:

При достаточно общих ограничениях на функцию , стоящую в правой части уравнения (2), задача Коши для этого уравнения имеет единственное решение, определённое на некотором интервале оси времени , содержащем начальное значение (этот интервал, вообще говоря, может не совпадать со всей осью).

Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для ОДУ, методы решения простейших ОДУ, качественное исследование решений ОДУ без нахождения их явного вида.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Обыкновенное_дифференциальное_уравнение

Итак, требуется решить дифференциальное уравнение:

Действие первое. Пожалуйста, забудьте задачку про частные производные и готовый ответ. Дело в том, что когда вам предложен для решения произвольный диффур, то вы ещё не знаете о том, что это уравнение в полных дифференциалах. И данный факт крайне желательно доказать в самом начале решения.

Докажем, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Как это сделать? Уравнение в полных дифференциалах имеет вид . Вспоминаем характерное и очень удобное равенство смешанных производных второго порядка: . Вот его и надо проверить:

, значит, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

На чистовике проверка проводится немного не так. Мы не имеем права использовать букву , так как изначально не знаем, является ли данное уравнение полным дифференциалом некоторой функции . А вдруг не является? Тогда вышеприведенные записи с буквой будут некорректны с математической точки зрения. Поэтому обычно используют нейтральные буквы «пэ» и «ку», а сама проверка на чистовике выглядит примерно так:

“

Проверим, является ли уравнение уравнением в полным дифференциалах:

, значит, данное ДУ является уравнением в полных дифференциалах

”

Вот только теперь, после доказательства, мы можем использовать букву «эф», поскольку показано, что дифференциальное уравнение является полным дифференциалом некоторой функции и имеет вид:

Ну, а коль скоро уравнение имеет вид , то:

Таким образом, нам известны две частные производные, и наша задача состоит в том, чтобы восстановить общий интеграл .

Существуют два зеркальных способа решения. В статье я остановлюсь на более привычном способе решения, но в конце рассмотрю и второй зеркальный вариант, он не менее важен.

Действие второе. Работаем с верхней производной . Нижнюю производную пока запишем на листочек и спрячем в карман.

Если дана частная производная , то нужная нам функция восстанавливается с помощью обратного действия – частного интегрирования:

Когда мы берём интеграл по «икс», то переменная «игрек» считается константой. Как видите, принцип точно такой же, как и при нахождении частных производных.

Я запишу подробно, сначала используем свойства линейности интеграла:

Еще раз подчеркиваю, что «игрек» в данном случае является константой и выносится за знак интеграла (т.е. не участвует в интегрировании).

В итоге:

Здесь – некоторая, пока ещё неизвестная функция, зависящая только от «игрек».

Правильно ли вычислен интеграл? В этом легко убедиться, если выполнить проверку, т.е. найти частную производную:

– получена исходная подынтегральная функция.

Надеюсь всем, понятно, почему . Функция зависит только от «игрек», а, значит, является константой.

Действие третье.

Берем «недоделанный» результат и дифференцируем его по «игрек»:

Функцию мы пока не знаем, но производная-то по «игрек» у неё существует, поэтому запись – совершенно законна.

Действие четвертое.

Перепишем результат предыдущего пункта:

А теперь достаем из широких штанин листочек с производной:

Приравниваем:

И сокращаем всё, что можно сократить:

Находим функцию , для этого необходимо взять интеграл от правой части:

Заключительный аккорд: Подставим найденную функцию в «недоделанный» результат :

Ответ: общий интеграл:

Проверка уже выполнена в самом начале урока – находим частные производные первого порядка и составляем полный дифференциал, в результате должно получиться исходное дифференциальное уравнение.

Второй способ проверки состоит в том, чтобы найти производную от функции, заданной неявно:

Дифференциальное уравнение вида

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.

Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой

u(x,y)=C,

где C − произвольная постоянная.