Тема 8. Элементы теории матричных игр

Розглянуті питання з теми:

8.1. Предмет теории игр, основные понятия

8.2. Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры

8.3. Решение игры в смешанных стратегиях

8.4. Геометрическая интерпретация игры 2 х 2

8.5. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования

Предмет теории игр, основные понятия

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) сторон преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации относятся к конфликтным.

Под конфликтом понимается всякое явление, в котором участвуют различные стороны, называемые множеством игроков и имеющие несовпадающие интересы.

В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. Например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнеров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнеры будут принимать.

Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы обоснованные методы, которые разработаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая называется теория игр.

Теория игр – это теория математических моделей, интересы участников которых различны, причем они достигают своей цели различными путями. Задачей теории игр является выработка рекомендаций по наиболее целесообразному, в том или ином смысле, поведении участников конфликта.

Возникновение теории игр относится к 1944 г., когда Нейман и Моргенштерн в работе "Теория игр и экономическое поведение" математически сформировали основы теории как средство для решения задач конкурентной экономики.

Ознакомимся с основными понятиями теории игр.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, - игроками, а исход конфликта – выигрышем. Для каждой игры вводятся правила – система условий, определяющая:

1) варианты действий игроков;

2) объем информации каждого игрока о поведении партнеров;

3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий, который, как правило, задается количественно.

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, множественной, если больше двух.

Выбор и осуществление одного из предусмотренного правилами действий называется ходом игрока. Каждый игрок имеет возможность выбрать ход. Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (ход в шахматной игре). Случайный ход – это случайно выбранное действие (выбор карты из перетасованной колоды).

Множество ходов, которые приводят игру к конечному состоянию, называется партией.

Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Т.о. сумма выигрышей сторон равняется нулю. Если обозначить а - выигрыш одного из игроков, b - выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b=-а, поэтому достаточно рассматривать, например а.

В каждой игре есть цель, или конечное состояние (выигрыш), к которому стремятся игроки, выбирая действия, допустимые правилами игры. Каждый игрок стремится к выигрышу, по отношению к этой цели игроки находятся в противоречии. Проигрыш рассматривается как отрицательный выигрыш. Правила игры указанное противоречие приводят к определённому направлению действий.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти ее решение, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности: один из игроков должен получить максимальный выигрыш, когда другой придерживается своей стратегии. В то же время 2-ой игрок должен иметь минимальный проигрыш, если 1-ый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Определив оптимальные стратегии для игроков, получаем решение для игры. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Если игра повторяется много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока.