Раздел 6. ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
1. Объём цилиндра хотят удвоить, не меняя основания цилиндра. Укажите, как следует изменить высоту.
2. Объём цилиндра хотят удвоить, не меняя его высоту. Укажите, как следует изменить радиус его основания.
3. Радиус основания цилиндра 2 см, а его высота 3 см. Выясните, больше его объём 37 см³ или меньше.
4. Найдите площадь полной поверхности цилиндра:
а) радиус основания которого равен 3, а высота – 2;
б) радиус основания которого равен 2, а площадь осевого сечения – 4;
в) радиус основания которого равен 2, а диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания под углом 450.
5. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого 4 см². Найдите объём цилиндра.
6. Бетонные кольца для колодцев имеют высоту 1 м, внешний диаметр 1 м и толщину стенок 0,1 м. Найдите объём бетона, необходимый для изготовления такого кольца.
7. Куб с ребром 1 вписан в цилиндр. Сравните площади полной поверхности куба и цилиндра.
8. Найдите отношение объёмов цилиндра и куба, если:
а) цилиндр описан около куба;
б) цилиндр вписан в куб.
9. Из бумаги свёрнут кулёк, имеющий форму конуса с радиусом основания 5 см и высотой 10 см. Определите площадь поверхности кулька.
10. Образующая конуса равна 2 см, а радиус основания – 1 см. Объясните, больше или меньше 6 см2 площадь его полной поверхности.
11. Найдите площадь полной поверхности конуса, если:
а) радиус его основания равен 2, а образующая – 4;
б) радиус основания равен 3, а высота - 4;
в) радиус основания равен 4, а угол наклона образующей к основанию равен 300.
12. Найдите объём конуса, если:
а) радиус его основания равен 2, а его высота равна 3;
б) радиус его основания равен 3, а образующая равна 5;
в) радиус основания равен 2, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°;
г) радиус основания равен 3, а площадь осевого сечения равна 12.
13. Прямоугольный треугольник с катетами a и b (a < b) вращается сначала вокруг одного из них, а затем вокруг другого. Сравните:
а) площади боковых поверхностей полученных конусов;
б) площади полных поверхностей получившихся конусов.
14. Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длины 2 вращают вокруг гипотенузы. Найдите площадь получившейся поверхности.
15. Угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
16. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объём усечённого конуса.
17. Найдите образующую усечённого конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см.
18. Площадь основания конуса равна 25 см², а высота равна 5 см. На расстоянии 1 см от вершины проведено сечение, параллельное основанию. Найдите объём усечённого конуса, отсекаемого проведённым сечением.
19. Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 24 см³.
20. Объясните, как изменится площадь сферы, если её радиус:
а) увеличится в 10 раз;
б) уменьшится вдвое.
21. Укажите, во сколько раз увеличится объём шара, если его радиус увеличить в 2 раза; в 3 раза.
22. Радиус Земли будем считать равным 6 тыс. км. Определите площадь земной поверхности.
23. Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвёртую часть диаметра Земли. Сравните объёмы Луна и Земли, считая их шарами.
24. Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?
25. Ребро куба равно а. Найдите радиусы вписанного в куб и описанного около него шаров.
26. Шар вписан в цилиндр. Радиус шара 2. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.
27. Шар вписан в конус. Радиус основания конуса 8, образующая 10. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.
28. Конус вписан в шар. Радиус шара 6, радиус основания конуса 5. Найдите отношение объёмов конуса и шара.
29. Найдите отношение объёмов вписанного в куб и описанного около куба шаров.
30. Найдите отношение объёмов цилиндра, шара и конуса, если диаметры оснований цилиндра, конуса и их высоты равны диаметру шара.
Раздел 7. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ.
1. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трёх векторов компланарны: а) 
; б) 
, 
, 
; в) 
; г) , 
?
2. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор 
по векторам 
. б) Разложите вектор 
по векторам 
, 
и 
.
3. Докажите, что если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О – произвольная точка пространства, то 
.
4. Найдите координаты проекций точек А (2; -3; 5), В (3; -5; 
) и С ( 
) на: а) координатные плоскости Оxz, Oxy и Oyz; б) оси координат Ох, Оу и Оz.
5. Даны координаты четырёх вершин куба ABCDA1B1C1D1: А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0) и А1 (1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин куба.
6. Даны точки А (1; 4; -3), В (-1; 0; -2). Найдите координаты вектора 
и его длину.
7. Даны векторы 
(5; 0; 1) и 
(-7; 4; -2). Найти вектор 
и его длину.
8. Запишите координаты векторов: 
, 
, 
, 
, 
, 
.
9. Даны векторы 
, 
, 
, 
. Запишите разложения этих векторов по координатным векторам 
, 
, 
.
10. Коллинеарны ли векторы: а) 
и 
; б) 
и 
; в) 
и 
; г) 
и 
; д) 
и 
?
11. Даны два вектора 
и 
. Найти x и z, если || .
12. Найти такое число m, при котором векторы 
, 
и 
являются компланарными.
13. Установить, являются ли компланарными следующие векторы:
а) (2; 3; -1); (1; -1; 3); 
(1; 9; -11);
б) (3; -2; 1); (2; 1; 2); (3; -1; -2);
в) (2; -1; 2); (1; 2; -3); (3; -4; 7).
14. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между векторами: а) 
и 
; б) 
и 
; в) 
и 
; г) 
и 
; д) 
и ; е) 
и 
; ж) 
и ; з) 
и 
.
15. Даны векторы (1; -1; 2), (-1; 1; 1) и (5; 6; 2). Вычислите 
, 
, 
, 
, 
.
16. Даны векторы 
и 
. При каком значении m векторы 
и перпендикулярны?
17. Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки А (1; -1; 3), В (3; -1; 1) и С (-1; 1; 3).
18. Найти угол между векторами 
и 
.