Площадь поверхности тела вращения

Рассмотрим тело, получаемое вращением криволинейной трапеции.

Будем предполагать, что функция непрерывная и имеет непрерывную производную во всех точках отрезка . Разобьём кривую на части точками и проведем хорды . Длины хорд обозначим через . Каждая хорда длины при вращение опишет усеченный конус, площадь поверхности которого:

, где

Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, следовательно, на отрезке существует точка такая, что , следовательно, площадь поверхности усеченного конуса может быть представлена в виде: .

Площадь поверхности, образованная всеми усеченными конусами, определяется:

Принято считать, что площадь поверхности тела вращения определяется пределом:

(3)

Таким образом, необходимо вычислить предел (3).

Представим величины в виде .

Подставляя в (3) получим:

Величина первого предела определяется определенным интегралом:

Сумма двух бесконечно малых величин представляет собой бесконечно малую величину, поэтому второй предел можно представить в виде:

, где - бесконечно малая величина.

Оценим выражение, стоящее под знаком второго предела. По определению бесконечно малой величины для положительной величины найдется такое положительное число , что для всех величин будет выполняться неравенство: .

Следовательно,

Таким образом, показали, что второй предел равен нулю при , и при стремлении диаметра разбиения к 0.

Следовательно, площадь поверхности тела вращения при сделанных ограничениях на функцию определяется выражением:

.

Пример: Определить площадь поверхности параболоида, образованного путём вращения параболы вокруг оси ох, при изменении х на отрезке .

,

.

Схема применения определенного интеграла для вычисления механических и физических величин

Пусть требуется определить некоторую величину Q, определяемую на отрезке , причем величина Q обладает свойством аддитивности, т.е. если разбить на 2 отрезка ( ) , т.е. .

Для вычисления величины Q на всём отрезке , рассматривают величину , соответствующую отрезку . После этого находят оценку величины вида:

Величина Q, соответствующая величине отрезка , складывается из элементарных величин : .

Отбрасывая бесконечно малую величину более высокого порядка малости по сравнению с , получают выражение:

.

Переходя к пределу в соответствующей сумме при и , получают точное значение величины Q.

.

Отметим, что при вычисление точной величины необходимо выделить главную линейную часть приращения (дифференциал).

Несобственные интегралы.

Рассматривая понятие определенного интеграла, существенно выделяли 2 обстоятельства:

1) Отрезок, по которому ведется интегрирование, должен быть конечным.

2) Функция , стоящая под знаком интеграла , должна быть ограничена на отрезке .

Понятие предела позволяет обобщить понятие определенного интеграла на случай бесконечного промежутка интегрирования и на случай неограниченной функции. Соответствующие интегралы называются несобственными интегралами первого и второго рода.

Несобственный интеграл первого рода - интеграл по бесконечному промежутку.

Несобственный интеграл второго рода - интеграл от неограниченной функции.