Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины.

Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru

Вначале введем и кратко опишем гамма - функцию, которая встретилась уже и будет встречаться в дальнейшем.Введем математическое определение гамма - функции и применим интегрирование по частям: Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru ,где Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .Выполним подстановку: Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru = Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .В результате мы получили рекуррентную формулу для вычисления значений гамма - функции.Еслиx - целое положительное число, x = n, то в соответствии с этой рекуррентной формулой имеем Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .Вычислим G(1) отдельно: Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru Поэтому Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru В частности, G(1) = 0×Г(0) = 0! = 1.В дальнейшем нам понадобятся следующие значения гамма - функции от дробных аргументов: Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .Последние два значения гамма-функции получены с использованием только что выведенной рекуррентной формулы.Пусть задана непрерывная дифференцируемая функция от случайной величины x: h = f (x). Известна плотность распределения случайной величины x : j (x).Задача состоит в том, чтобы найти плотность распределения y(y)случайной величиныh.Подобная задача возникает в технике, когда случайные процессы или измеряемые величины, возмущенные случайными помехами, претерпевают нелинейные преобразования, и возникает задача прогнозирования характеристик сигнала, который получается в результате этого преобразования.Для вывода необходимого соотношения воспользуемся рис. 20. На этом рисунке представлены: функция преобразования y = f(x) и плотность распределения j(x). Функция преобразования предполагается монотонной, и это свойство функции преобразования практически всегда имеет место в технических устройствах: средствах измерения, измерительныхпреобразователях и регуляторах. В силу взаимной однозначности преобразования случайная величина h принимает значения из интервала Dy, в точности с той же вероятностью, с которой случайная величина x принимает значения из интервала Dx. Поскольку вероятностная мера интервала есть площадь под кривой плотности распределения на этом интервале, это означает, что площади заштрихованных фигур на рис. 20 должны быть равны: Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru ,где Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru - точки, находящиеся внутри выделенных интервалов Dx и Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru - значение искомой плотности распределения в точке Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .Из этого выражения следует: Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .Заметим здесь, что ширина интервала Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , в который преобразуется интервал Dx,не зависит от знака производной функции преобразования, и это обстоятельство мы учтем при выполнении предельного перехода Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .В силу инвариантности первого дифференциала производная Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru выражается через производную от обратной функции: Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru Кроме того в выражении для y(y) необходимо выразить аргумент x плотности распределения j(x) через y с помощью обратной функции : Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru . В итоге окончательно получим: Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .Пример: Случайная величина h образуется в результате линейного преобразования случайной величины Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru : Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru . В данном случае реализуется функциональное преобразование Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , обратная функция Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , производная от нее по y равна Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru . В результате подстановки в общую формулу получим: Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .Это означает, что любое линейное преобразование не изменяет вид плотности распределения случайной величины. Изменяется лишь масштаб и смещение от начала координат.

Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru

17.Вывод формулы для плотности распределения случайной величины Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru и для ее характеристической функции,гдеx–случайная величина с нормальной плотностью распределения N(0;1) Случайная величина x распределена нормально: Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru . Функция преобразования Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru . Эта ситуация представлена на рис. 21. Из рисунка видно, что в силу двузначности обратной функции случайная величина h принимает значения из интервала Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , когда случайная величина xпринимает значения в одном из двух выделенных интервалов Dx. Поэтому для данного примера исходное выражение должно быть изменено следующим образом: Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru . Из этого следует соответствующее изменение общей формулы: Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .Для данного примера Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru ,

Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru

В конечном итоге, после подстановки в общую формулу получим искомую плотность распределения: Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .Найдем характеристическую функцию этого распределения.

Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .Сделаем замену переменной интегрирования:

Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .В результате этой замены получим выражение с участием гамма-функции:

Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru Поскольку Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , окончательно получим: Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru

18.Вывод формулы для плотности распределения Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru ,где Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru –произвольная функция распределения непрерывной случайной величиныПусть Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru - интегральная функция распределения случайной величины x . Образуем случайную величину h, как функцию от случайной величины x : Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .Задача состоит в том, чтобы найти плотность распределенияy (y)случайной величиныh.Воспользуемся полученным ранее выражением Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .В нашем случае в качестве функции y = f(x) выступает функция Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , производная от которой по x есть плотность распределения j(x). Поэтому Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .Таким образом, оказывается, что случайная величина h, полученная в результате функционального преобразования любой непрерывной случайной величины x путем ее подстановки в ее же интегральную функцию распределения, распределена равномерно в интервале [0,1] вне зависимости от вида функции распределения величины x.Полученный результат имеет два полезных применения.Первое. Машинное моделирование случайных чисел с заданной интегральной функцией распределения. Технология моделирования такова:- задается функция распределенияF(x),- по стандартным программам генерируются случайные числа Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , распределенные равномерно в интервале [0, 1], - случайные числа Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru , распределенные в соответствии с заданной функцией распределения F(x)получаются, как решения уравнений Функции от непрерывных случайных величин:вывод общей формулы,вывод формулы для плотности распределения линейной функции от непрерывной случайной величины. - student2.ru .Второе. Статистическое оценивание параметров и характеристик случайных величин по результатам экспериментов, вне зависимости от вида распределения исследуемой случайной величины. Это применение будет изложено ниже в разделе 2. Математическая статистика.

Наши рекомендации