Два замечательных предела.

Первым замечательным пределом называют предел Два замечательных предела. - student2.ru .

Его используют для раскрытия неопределённостей вида Два замечательных предела. - student2.ru .

Вторым замечательным пределом называют предел

Два замечательных предела. - student2.ru Два замечательных предела. - student2.ru или Два замечательных предела. - student2.ru .

Его используют для раскрытия неопределённостей вида Два замечательных предела. - student2.ru .

Пример выполнения задания 1

а) Два замечательных предела. - student2.ru .

В данном случае имеем неопределенность [ Два замечательных предела. - student2.ru ]. Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной, то есть, разделим на x2.

Два замечательных предела. - student2.ru .

б) Два замечательных предела. - student2.ru .

При x→2 числитель и знаменатель дроби равны нулю. Неопределенность вида [ Два замечательных предела. - student2.ru ]. Следовательно, необходимо данное выражение преобразовать.

Числитель и знаменатель данной дроби при x = 2 обращается в ноль, поэтому многочлены x2- 5x + 6 и x2 - 2x делятся без остатка на бином (x – 2) (теорема Безу).

Два замечательных предела. - student2.ru

в) Два замечательных предела. - student2.ru .

В данном случае имеем неопределенность вида [∞-∞].

Умножаем выражение, стоящее под знаком предела, на такой множитель, чтобы получить разность квадратов: Два замечательных предела. - student2.ru . Чтобы не нарушать тождество, на сопряжённый множитель так же и разделим.

В результате получим:

Два замечательных предела. - student2.ru

Два замечательных предела. - student2.ru Два замечательных предела. - student2.ru

Два замечательных предела. - student2.ru Два замечательных предела. - student2.ru .

Два замечательных предела. - student2.ru Два замечательных предела. - student2.ru При x→ + ∞ числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие величины, имеем неопределенность вида [ Два замечательных предела. - student2.ru ].

Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на x2:

Два замечательных предела. - student2.ru

= Два замечательных предела. - student2.ru .

г) Два замечательных предела. - student2.ru .

Предел основания равен 1, а показатель степени стремится к бесконечности. Имеем неопределенность вида [1].

Для вычисления предела преобразуем выражение так, чтобы выделить второй замечательный предел.

Два замечательных предела. - student2.ru

Два замечательных предела. - student2.ru

Два замечательных предела. - student2.ru .

д) Два замечательных предела. - student2.ru .

В данном случае имеем неопределенность вида [ Два замечательных предела. - student2.ru ].

Для вычисления предела преобразуем выражение так, чтобы выделить первый замечательный предел.

Два замечательных предела. - student2.ru Два замечательных предела. - student2.ru =

Два замечательных предела. - student2.ru .

Домножаем числитель и знаменатель дроби на х2:

Два замечательных предела. - student2.ru

Сведения из теории

Непрерывность функции

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х = а, если

1) функция определена в этой точке и ее окрестности;

2) существует Два замечательных предела. - student2.ru ;

3) предел фнкии равен значению функции в точке а, т.е. Два замечательных предела. - student2.ru .

Два замечательных предела. - student2.ru Два замечательных предела. - student2.ru Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке а, а сама точка а называется точкой разрыва.

Если Два замечательных предела. - student2.ru не существует, но существует оба односторонних предела в точке а, которые не равны друг другу, то разрыв в точке а называется разрывом первого рода или скачком.

Если хотя бы один из односторонних пределов не существуют или равен бесконечности, а, следовательно, не существует и Два замечательных предела. - student2.ru , то разрыв в точке а называется разрывом второго рода.

Если Два замечательных предела. - student2.ru существует, но функция f(x) в точке а не определена или определена, но так, что Два замечательных предела. - student2.ru , то разрыв в точке а называется устранимым.

Рассмотрим функцию:

Два замечательных предела. - student2.ru Два замечательных предела. - student2.ru

Два замечательных предела. - student2.ru Область определения ее – вся числовая ось. Разрывы возможны лишь в точках x = 1, x = 2, в которых функция изменяет аналитическое выражение. Найдем односторонние пределы в точках х = 1, х = 2.

При х = 1

Два замечательных предела. - student2.ru ; Два замечательных предела. - student2.ru так как f(1-0) = f(1+0) = 3, то в точке х = 1 функция непрерывна.

При х = 2

Два замечательных предела. - student2.ru ; Два замечательных предела. - student2.ru ,

так как f(2-0) ≠ f(2+0), то в точке

х = 2 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен 1.

Асимптоты графика функции

Под асимптотой графика функции понимают такую прямую линию, к которой неограниченно приближаются точки графика функции у = f(x) по мере их удаления в ± ∞.

Если Два замечательных предела. - student2.ru , то х = а – уравнение вертикальной асимптоты.

Если Два замечательных предела. - student2.ru , то у = b – уравнение горизонтальной асимптоты.

Если Два замечательных предела. - student2.ru , то у = kx + b – уравнение наклонной асимптоты.

Наши рекомендации