Замечательных пределов

1. Понятие неопределенности. В практике отыскания пределов наиболее часто применяется теорема 2 об арифметических действиях над пределами (см. § 1). Однако ее непосредственное применение бывает невозможно в особых ситуациях, называемых неопределенностями, которые возникают при нарушении ее условий. Например, если замечательных пределов - student2.ru , то нельзя сказать ничего определенного о пределе замечательных пределов - student2.ru , не зная конкретного вида функции замечательных пределов - student2.ru и замечательных пределов - student2.ru . В этом случае говорят о наличии неопределенного вида замечательных пределов - student2.ru . Неопределенность возникает и при отыскании предела замечательных пределов - student2.ru , если замечательных пределов - student2.ru , замечательных пределов - student2.ru ( замечательных пределов - student2.ru и замечательных пределов - student2.ru могут быть бесконечно большими определенного знака или нет). Ее обозначают символом замечательных пределов - student2.ru . Еще один пример: ищется замечательных пределов - student2.ru , причем замечательных пределов - student2.ru и замечательных пределов - student2.ru – бесконечно большие противоположных знаков – здесь неопределенность замечательных пределов - student2.ru . При вычислении предела замечательных пределов - student2.ru создается неопределенность замечательных пределов - student2.ru , если замечательных пределов - student2.ru , замечательных пределов - student2.ru . Кроме этих неопределенностей, связанных с арифметическими действиями над пределами, существуют неопределенности замечательных пределов - student2.ru , относящиеся к пределу вида замечательных пределов - student2.ru .

Чтобы найти пределы при наличии неопределенности, надо эту неопределенность устранить, открыв тем самым возможность использования тех или иных теорем о пределах. Это достигается, с одной стороны, применением алгебраических и тригонометрических преобразований (разложение функций на множители или на слагаемые, приведение дробей к общему знаменателю, добавление и вычитание некоторого выражения, умножение и деление на некоторую функцию, вынесение множителя за скобку и т.п.), заменой переменной, использованием эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших (см. § 3), а с другой стороны, использованием так называемых замечательных пределов.

I. замечательных пределов - student2.ru .

II. замечательных пределов - student2.ru ( замечательных пределов - student2.ru — иррациональное число. Оно является основанием системы логарифмов, называемых натуральными. Вместо замечательных пределов - student2.ru принято писать замечательных пределов - student2.ru ).

Из предела II выводятся следующие пределы, широко применяемые при раскрытии неопределенностей:

III. замечательных пределов - student2.ru .

IV. замечательных пределов - student2.ru (в частности, замечательных пределов - student2.ru ).

V. замечательных пределов - student2.ru .

Замечание. Применение замечательных пределов требует понимания и запоминания структуры каждого из них и при этом необходимости ее воспроизведения. Так, для предела замечательных пределов - student2.ru характерно отношение синуса бесконечно малого угла к самому углу. Поэтому всякий предел вида замечательных пределов - student2.ru равен 1, если замечательных пределов - student2.ru . Например, каждый из пределов замечательных пределов - student2.ru , замечательных пределов - student2.ru , замечательных пределов - student2.ru есть, в сущности, первый замечательный предел и потому равен 1, чего нельзя сказать ни об одном из пределов замечательных пределов - student2.ru , замечательных пределов - student2.ru , замечательных пределов - student2.ru .

Для предела замечательных пределов - student2.ru характерно, что сумма, равная единице плюс бесконечно малая, возводится в степень, обратную этой бесконечно малой. Следовательно, если замечательных пределов - student2.ru , то и замечательных пределов - student2.ru . Такова структура каждого из пределов замечательных пределов - student2.ru , замечательных пределов - student2.ru , замечательных пределов - student2.ru , и потому все они равны замечательных пределов - student2.ru , но структура пределов замечательных пределов - student2.ru , замечательных пределов - student2.ru , замечательных пределов - student2.ru отлична от срукткры замечательного предела.

Подобные рассуждения справедливы и для пределов III–V.

Заметим, что если заданный предел не обладает структурой ни одного из пределов I–V, это не исключает возможности использования их для его отыскания.

2. Неопределенность 0/0. В простейших случаях такая неопределенность устраняется путем выделения в числителе и знаменателе общего множителя, создающего неопределенность, и сокращения на него, после чего можно применять теорему о пределе частного. Этот прием основан на теореме: если в окрестности точки замечательных пределов - student2.ru замечательных пределов - student2.ru для всех замечательных пределов - student2.ru и существует один из пределов замечательных пределов - student2.ru или замечательных пределов - student2.ru , то существует и другой, и они равны. Например, функции замечательных пределов - student2.ru и замечательных пределов - student2.ru равны при замечательных пределов - student2.ru . Поскольку замечательных пределов - student2.ru

Способ выделения общего множителя, да и сам его вид зависят от структуры числителя и знаменателя. Иногда вид выделяемого множителя зависит от способа его выделения (см. ниже пример 5). Для раскрытия неопределенности 0/0 применяются и другие элементарные приемы, а также пределы I, III–V, используются эквивалентные бесконечно малые.

Пример 1. Вычислить замечательных пределов - student2.ru .

Решение. Многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, обращаются в нуль при замечательных пределов - student2.ru . По теореме Безу каждый из них должен делиться на замечательных пределов - student2.ru , т.е. каждый из них может быть представлен в виде произведения замечательных пределов - student2.ru на некоторый многочлен.

Таким образом, нахождение предела сводится прежде всего к выделению в числителе и знаменателе множителя замечательных пределов - student2.ru , незримое присутствие которого и создает неопределенность 0/0. Практически это достигается каким-либо способом разложения числителя и знаменателя на множители, например делением «уголком»*.

[ДЕЛЕНИЕ СТОЛБИКОМ]

Теперь искомый предел можно представить в виде

замечательных пределов - student2.ru .

Неопределенность исчезла. По теореме о пределе частного находим ответ: замечательных пределов - student2.ru .

Замечание. Веденный пример решения всегда приводит к цели, когда ищется замечательных пределов - student2.ru , где замечательных пределов - student2.ru и замечательных пределов - student2.ru — многочлены степеней m и n относительно x. Можно применить и непосредственное разложение многочленов на множители путем группировки слагаемых с выделением множителя замечательных пределов - student2.ru , если такая группировка очевидна. В приведенном примере такое разложение легко получить для числителя:

замечательных пределов - student2.ru

1. Раскрыть неопределенность 0/0:

1) замечательных пределов - student2.ru ;   3) замечательных пределов - student2.ru   5) замечательных пределов - student2.ru ;   7) замечательных пределов - student2.ru (m и n – натуральные числа);   9) замечательных пределов - student2.ru   11) замечательных пределов - student2.ru ; 13) замечательных пределов - student2.ru ;   15) замечательных пределов - student2.ru   17) замечательных пределов - student2.ru ;   19) замечательных пределов - student2.ru ( замечательных пределов - student2.ru );   21) замечательных пределов - student2.ru   23) замечательных пределов - student2.ru   25) замечательных пределов - student2.ru   27) замечательных пределов - student2.ru   29) замечательных пределов - student2.ru ;   31) замечательных пределов - student2.ru ;   33) замечательных пределов - student2.ru (n – натуральное число);   35) замечательных пределов - student2.ru   37) замечательных пределов - student2.ru   39) замечательных пределов - student2.ru ;   41) замечательных пределов - student2.ru   43) замечательных пределов - student2.ru   45) замечательных пределов - student2.ru   47) замечательных пределов - student2.ru   2) замечательных пределов - student2.ru ;   4) замечательных пределов - student2.ru ;   6) замечательных пределов - student2.ru ;   8) замечательных пределов - student2.ru (n – натуральное число);   10) замечательных пределов - student2.ru ;   12) замечательных пределов - student2.ru ; 14) замечательных пределов - student2.ru ;   16) замечательных пределов - student2.ru   18) замечательных пределов - student2.ru ;   20) замечательных пределов - student2.ru ;   22) замечательных пределов - student2.ru   24) замечательных пределов - student2.ru   26) замечательных пределов - student2.ru   28) замечательных пределов - student2.ru   30) замечательных пределов - student2.ru ;   32) замечательных пределов - student2.ru ;   34) замечательных пределов - student2.ru   36) замечательных пределов - student2.ru   38) замечательных пределов - student2.ru   40) замечательных пределов - student2.ru   42) замечательных пределов - student2.ru   44) замечательных пределов - student2.ru   46) замечательных пределов - student2.ru   48) замечательных пределов - student2.ru

3. Неопределенность ∞/∞. Эта неопределенность раскрывается теми же методами, что и неопределенность 0/0, а иногда просто сводится к последней элементарными преобразованиями.

Пример 3. Вычислить замечательных пределов - student2.ru .

Решение. При достаточно больших значениях замечательных пределов - student2.ru величина числителя определяется членом замечательных пределов - student2.ru , а роль остальных слагаемых тем незначительней, чем больше замечательных пределов - student2.ru . В знаменателе при росте замечательных пределов - student2.ru доминирующее значение приобретает слагаемое замечательных пределов - student2.ru . Поэтому именно присутствие членов, содержащих замечательных пределов - student2.ru , является причиной возникновения неопределенности ∞/∞. Если в числителе и знаменателе вынести множитель замечательных пределов - student2.ru за скобки и сократить на него, то неопределенность исчезнет:

замечательных пределов - student2.ru

(Слагаемые замечательных пределов - student2.ru есть бесконечно малые при замечательных пределов - student2.ru ).

Замечание. Проведенные преобразования фактически сводятся к делению числителя и знаменателя на старшую степень x. Часто этого бывает достаточно для раскрытия неопределенности ∞/∞. (В сущности, к этому же премк можно отнести замену переменной замечательных пределов - student2.ru . Тогда замечательных пределов - student2.ru и

замечательных пределов - student2.ru

Пример 4. Вычислить замечательных пределов - student2.ru .

Решение. Воспользуемся замечанием к примеру 15. Заметив, что старшая степень замечательных пределов - student2.ru в данном случае равна 3, разделим почленно ислитель и знаменатель на замечательных пределов - student2.ru :

замечательных пределов - student2.ru

замечательных пределов - student2.ru

(Смена знака перед двумя радикалами в переходе (1) объясняется тем, что при замечательных пределов - student2.ru замечательных пределов - student2.ru и аналогично замечательных пределов - student2.ru

Пример 5. Вычислить замечательных пределов - student2.ru .

Решение. В числителе стоит сумма членов арифметической прогрессии. Следовательно, замечательных пределов - student2.ru и

замечательных пределов - student2.ru

Пример 6. Вычислить замечательных пределов - student2.ru .

Решение. Множителем, создающим неопределенность, в данном примере является замечательных пределов - student2.ru , что видно из равенств

замечательных пределов - student2.ru

замечательных пределов - student2.ru

замечательных пределов - student2.ru

замечательных пределов - student2.ru

Заменив числитель и знаменатель правыми частями этих равенств и поделив их затем на замечательных пределов - student2.ru , добьемся исчезновения неопределенности:

замечательных пределов - student2.ru

2. Раскрыть неопределенность ∞/∞:

49) 1) замечательных пределов - student2.ru 2) замечательных пределов - student2.ru 3) замечательных пределов - student2.ru

Вывести простое правило вычисления предела замечательных пределов - student2.ru , где замечательных пределов - student2.ru и замечательных пределов - student2.ru – многочлены степеней n и m.

50) замечательных пределов - student2.ru ;   52) замечательных пределов - student2.ru   54) замечательных пределов - student2.ru ;   56) замечательных пределов - student2.ru ;   58) замечательных пределов - student2.ru   60) замечательных пределов - student2.ru ;   62) замечательных пределов - student2.ru ;   64) замечательных пределов - student2.ru   66) замечательных пределов - student2.ru ;   68) замечательных пределов - student2.ru ;   70) замечательных пределов - student2.ru 51) замечательных пределов - student2.ru ;   53) замечательных пределов - student2.ru ;   55) замечательных пределов - student2.ru ;   57) замечательных пределов - student2.ru ;   59) замечательных пределов - student2.ru ;   61) замечательных пределов - student2.ru ;   63) замечательных пределов - student2.ru ;   65) замечательных пределов - student2.ru   67) замечательных пределов - student2.ru ;   69) замечательных пределов - student2.ru ;   71) замечательных пределов - student2.ru

4. Неопределенность замечательных пределов - student2.ru . Неопределенности такого вида элементарными преобразованиями, использованием замечательных пределов или заменой переменной сводятся к одной из неопределенностей вида 0/0 или ∞/∞.

Пример 7. Вычислить замечательных пределов - student2.ru .

Решение.

замечательных пределов - student2.ru

Пример 8. Вычислить замечательных пределов - student2.ru .

Решение. Заметив, что при замечательных пределов - student2.ru замечательных пределов - student2.ru , выделим замечательны предел I:

замечательных пределов - student2.ru

замечательных пределов - student2.ru

После выделения замечательного предела I делением и умножением на замечательных пределов - student2.ru (переходы (1) – (3)) неопределенность замечательных пределов - student2.ru свелась к неопределенности замечательных пределов - student2.ru , ликвидация которой произведена делением числителя и знаменателя на старшую степень переменной (переход (4)).

Вычислить следующие пределы:

72) замечательных пределов - student2.ru ;   74) замечательных пределов - student2.ru   76) замечательных пределов - student2.ru ;   78) замечательных пределов - student2.ru ;   80) замечательных пределов - student2.ru замечательных пределов - student2.ru   82) замечательных пределов - student2.ru ;   84) замечательных пределов - student2.ru ;   86) замечательных пределов - student2.ru   88) замечательных пределов - student2.ru ;   73) замечательных пределов - student2.ru ;   75) замечательных пределов - student2.ru ;   77) замечательных пределов - student2.ru ;   79) замечательных пределов - student2.ru ;     81) замечательных пределов - student2.ru ;   83) замечательных пределов - student2.ru ;   85) замечательных пределов - student2.ru ;   87) замечательных пределов - student2.ru    

5. Неопределенность замечательных пределов - student2.ru . Раскрытие этой неопределенности, нередко сопряженное с большими трудностями, достигается использованием замечательных пределов или сведением к одной из неопределенностей 0/0, ∞/∞, замечательных пределов - student2.ru с помощью элементарных преобразований.

Пример 9. Вычислить замечательных пределов - student2.ru .

Решение. Приведение дробей к общему знаменателю сменяет неопределенность замечательных пределов - student2.ru на неопределенность 0/0, которая раскрывается сокращением дроби на множитель замечательных пределов - student2.ru . Действительно, учитывая, что замечательных пределов - student2.ru , находим последовательно

замечательных пределов - student2.ru

∞/∞, замечательных пределов - student2.ru с помощью элементарных преобразований.

Пример 10. Вычислить замечательных пределов - student2.ru .

Решение. Умножение и деление на одно и то же выражение, сопряженное данному двучлену, сводит неопределенность замечательных пределов - student2.ru к неопределенности замечательных пределов - student2.ru :

замечательных пределов - student2.ru

замечательных пределов - student2.ru

89) замечательных пределов - student2.ru ;   91) замечательных пределов - student2.ru   90) замечательных пределов - student2.ru ;   92) замечательных пределов - student2.ru

5. Неопределенность замечательных пределов - student2.ru . Раскрытие этой неопределенности, нередко сопряженное с большими трудностями, достигается использованием замечательных пределов или сведением к одной из неопределенностей 0/0, ∞/∞, замечательных пределов - student2.ru с помощью элементарных преобразований.

Пример 11. Вычислить замечательных пределов - student2.ru .

Решение. Приведение дробей к общему знаменателю сменяет неопределенность замечательных пределов - student2.ru на неопределенность 0/0, которая раскрывается сокращением дроби на множитель замечательных пределов - student2.ru . Действительно, учитывая, что замечательных пределов - student2.ru , находим последовательно

замечательных пределов - student2.ru

∞/∞, замечательных пределов - student2.ru с помощью элементарных преобразований.

Пример 12. Вычислить замечательных пределов - student2.ru .

Решение. Умножение и деление на одно и то же выражение, сопряженное данному двучлену, сводит неопределенность замечательных пределов - student2.ru к неопределенности замечательных пределов - student2.ru :

замечательных пределов - student2.ru

замечательных пределов - student2.ru

Вычислить следующие пределы:

93) замечательных пределов - student2.ru ;   94) замечательных пределов - student2.ru ;  
95) замечательных пределов - student2.ru ;   96) замечательных пределов - student2.ru ;  
97) замечательных пределов - student2.ru ;   98) замечательных пределов - student2.ru ;  
99) замечательных пределов - student2.ru ;  
100) замечательных пределов - student2.ru ;  
101) замечательных пределов - student2.ru ;  
102) замечательных пределов - student2.ru  
103) замечательных пределов - student2.ru  
104) замечательных пределов - student2.ru ;   105) замечательных пределов - student2.ru ;  
106) замечательных пределов - student2.ru ;  
107) замечательных пределов - student2.ru ;   108) замечательных пределов - student2.ru ;  
109) замечательных пределов - student2.ru ;   110) замечательных пределов - student2.ru ;  
111) замечательных пределов - student2.ru ;   112) замечательных пределов - student2.ru ;  
113) замечательных пределов - student2.ru ;   114) замечательных пределов - student2.ru ;  
115) замечательных пределов - student2.ru ;   116) замечательных пределов - student2.ru ;  
117) замечательных пределов - student2.ru ;   118) замечательных пределов - student2.ru ;  
119) замечательных пределов - student2.ru ;   120) замечательных пределов - student2.ru ;  

6. Неопределенность замечательных пределов - student2.ru . Условия, при которых возникают эти неопределенности, связанные с пределом замечательных пределов - student2.ru , где замечательных пределов - student2.ru и замечательных пределов - student2.ru — функции от x, можно пояснить таблицей:

замечательных пределов - student2.ru замечательных пределов - student2.ru замечательных пределов - student2.ru
замечательных пределов - student2.ru замечательных пределов - student2.ru
замечательных пределов - student2.ru
замечательных пределов - student2.ru замечательных пределов - student2.ru

Из тождества замечательных пределов - student2.ru и непрерывности показательной функции (см. главу III) следует, что замечательных пределов - student2.ru . Таким образом, раскрытие неопределенностей замечательных пределов - student2.ru сводится к отысканию предела функции замечательных пределов - student2.ru , который связан с неопределенностью замечательных пределов - student2.ru , как это видно из таблицы. Если S найдено, то замечательных пределов - student2.ru . Заметим, что замечательных пределов - student2.ru . Следовательно, для раскрытия любой из неопределенностей рассматриваемых типов достаточно найти предел натурального логарифма функции, стоящей под знаком предела, и по его значению S восстановить искомый предел замечательных пределов - student2.ru . Неопределенность замечательных пределов - student2.ru может быть раскрыта помимо изложенного способа, общего для этих неопределенностей, способом непосредственной «подгонки» к замечательному пределу II замечательных пределов - student2.ru , например, по такой схеме:

замечательных пределов - student2.ru

Выражение, построенное внутри квадратных скобок, имеет вид замечательных пределов - student2.ru , где замечательных пределов - student2.ru — бесконечно малая при замечательных пределов - student2.ru . Нахождение предела

замечательных пределов - student2.ru требует раскрытия неопределенности замечательных пределов - student2.ru .

Пример 13. Вычислить замечательных пределов - student2.ru .

Решение. Поскольку замечательных пределов - student2.ru при замечательных пределов - student2.ru , то имеем неопределенность вида замечательных пределов - student2.ru . Выделим замечательный предел II:

замечательных пределов - student2.ru

Пример 14. Вычислить замечательных пределов - student2.ru .

Решение. замечательных пределов - student2.ru при замечательных пределов - student2.ru стремится к единице, а замечательных пределов - student2.ru , следовательно, здесь неопределенность вида замечательных пределов - student2.ru . Выделим замечательный предел II:

замечательных пределов - student2.ru

Пример 15. Вычислить замечательных пределов - student2.ru .

Решение. замечательных пределов - student2.ru при замечательных пределов - student2.ru стремится к единице, а замечательных пределов - student2.ru , следовательно, здесь неопределенность вида замечательных пределов - student2.ru . Выделим замечательный предел II:

замечательных пределов - student2.ru

Пример 16. Вычислить замечательных пределов - student2.ru .

Решение. замечательных пределов - student2.ru при замечательных пределов - student2.ru стремится к единице, а замечательных пределов - student2.ru , следовательно, здесь неопределенность вида замечательных пределов - student2.ru . Выделим замечательный предел II:

замечательных пределов - student2.ru

замечательных пределов - student2.ru

Следовательно, замечательных пределов - student2.ru

Вычислить:

121) замечательных пределов - student2.ru   122) замечательных пределов - student2.ru
123) замечательных пределов - student2.ru   124) замечательных пределов - student2.ru  
125) замечательных пределов - student2.ru   126) замечательных пределов - student2.ru  
127) замечательных пределов - student2.ru   128) замечательных пределов - student2.ru  
129) замечательных пределов - student2.ru   130) замечательных пределов - student2.ru  
131) замечательных пределов - student2.ru   132) замечательных пределов - student2.ru  
133) замечательных пределов - student2.ru замечательных пределов - student2.ru ;   134) замечательных пределов - student2.ru замечательных пределов - student2.ru ;  
135) замечательных пределов - student2.ru   136) замечательных пределов - student2.ru  
137) замечательных пределов - student2.ru 138) замечательных пределов - student2.ru  
139) замечательных пределов - student2.ru   140) замечательных пределов - student2.ru  
141) замечательных пределов - student2.ru   142) замечательных пределов - student2.ru  
143) замечательных пределов - student2.ru   144) замечательных пределов - student2.ru  
145) замечательных пределов - student2.ru    

Наши рекомендации