Исследование на неподвижные точки

1. X = Y = Z = 0 - точка О = (0,0,0) всегда является неподвижной.

2. условие стационарности:

ещё две неподвижные точки О_1,2 (но не всегда устойчивые):

Z_ст = ρ -1, X_ст = Y_ст = ± Ö(βZ_ст) = Ö(β(ρ −1)).

Анализ устойчивости неподвижных точек:

• при ρ < 1 т. О - устойчивый узел, других устойчивых точек нет. Это означает отсутствие конвекции,

• при 1 < ρ < ρ* = σ(σ + β + 3)/(σ - β -1).

Появляются две новые устойчивые точки О_1,2, если σ > β-1. Точка при этом О - становится неустойчивой. Два возможных направления вращения в конвективной ячейке, т.е. два устойчивых динамических режима.

• при ρ > ρ* точки О, О_1,2 становятся неустойчивыми. Это означает отсутствие регулярных устойчивых режимов в системе и переход к хаотической конвекции.

Результаты численного исследования динамики системы Лоренца

при σ = 10, β = 8/3. (ρ* ≈ 24.74)

1) 1 ≤ ρ < ρ1 ≈ 13.926..

• т. О – неустойчивая,

• точки О_1,2 – устойчивые (бистабильность). Зависимость от начальных условий. Две ветви сепаратрисы - Г₁ и Г₂

Демонстрация динамики

2) ρ₁ ≤ ρ < ρ₂ ≈ 24.06..

• О_1,2 – устойчивые фокусы,

• неустойчивые предельные циклы L₁ и L₂,

•B₁ (не притягивающее) - колебания между областями притяжения т. О₁ и т. О₂

3) ρ₂ ≤ ρ < ρ* ≈ 24.74…

• О_1,2 – устойчивые фокусы, области их притяжения ограничены

поверхностями L₁ и L₂ ;

• неустойчивые предельные циклы L₁ и L₂,

•B₂ - хаотический аттрактор Лоренца, области притяжения – вне L₁ и L₂

4) ρ* ≤ ρ

• т. О и точки О_1,2 – неустойчивые неподвижные

• притягивающее множество – хаотический аттрактор Лоренца

5) ρ > ρ₃ ≈ 148.4

Одно притягивающее множество - предельный цикл (автоколебания).

При уменьшении параметра ρ от ρ₃ к ρ* переход к хаосу:

- через каскад бифуркаций удвоения периода.

- через перемежаемость

Предельный цикл в системе Лоренца при σ=10, β = 8/3, ρ =166.

Временная развертка

Зависимости X(t), Y(t), Z(t), полученные для системы Лоренца при σ=16, ρ=28, β=8/3

Мы попытаемся описать имеющиеся представления о появлении и структуре аттрактора в системе Лоренца. Зафиксируем в (1) s = 10, b = 8/3 и будем увеличивать r, начиная с нуля.

Рис. 2.

При r < 1 система Лоренца имеет асимптотически устойчивую в целом стационарную точку – начало координат. К ней притягиваются все траектории (см. рис. 2). Здесь же отметим, что начальная стадия нашего анализа (вплоть до рис. 4) элементарна и читатель может проделать ее сам. Когда r переваливает через единицу, происходит первая бифуркация. Начало координат теряет устойчивость и от него отделяются две новые устойчивые стационарные точки

X1 = (Öb(r – 1), Öb(r – 1), r – 1)

и

X2 = (–Öb(r – 1), –Öb(r – 1), r – 1)

Рис. 3.

У линеаризованной в нулевой стационарной точке системы два отрицательных и одно положительноесобственное значение. В соответствии с этим у нулевой стационарной точки есть двумерный входящий ус и одномерный выходящий (см. рис. 3). У линеаризованных в точках X₁ и X₂ систем все собственные значения отрицательны.

При возрастании параметра r пара отрицательных собственных значений этих систем превращается в пару комплексно сопряженных собственных значений. Это, в частности, соответствует тому, что выходящие усыG₁ и G₂ нулевой стационарной точки начинают закручиваться как спирали около стационарных точек X₁ иX₂, соответственно (см. рис. 4).

Рис. 4.

Рис. 5.

С дальнейшим ростом r стационарные точки X₁ и X₂ поднимаются выше (они лежат в плоскости x₃ = r – 1), а спиралевидные траектории "разбухают". Это происходит до тех пор, пока при r » 13.92 (это значение можно найти только численно) спирали, начинающиеся как выходящие усы нуля, попадают на его входящий ус, образуя две гомоклинические траектории G₁ и G₂ (см. рис. 5).

При возрастании r в этот момент происходит бифуркация гомоклинических траекторий с образованием двухнеустойчивых циклов F₁ и F₂ (см. рис. 6). Линейные части операторов последования, отвечающих этимциклам, имеют по одному мультипликатору большему единицы и по одному – меньшему единицы, и следовательно, по одному направлению траектории к этим циклам притягиваются, а по другому – отталкиваются. Выходящие усы G₁ и G₂ нулевой стационарной точки теперь уже не попадают на еевходящий ус (см. рис. 6) – они попадают в области притяжения стационарных точек X₂ и X₁, соответственно (а не X₁ и X₂, как было раньше) и закручиваются около них.

Рис. 6.

При r » 24.06 происходит очередная бифуркация и G₁ и G₂ попадают на притягивающие многообразия(неустойчивых) циклов F₂ и F₁ (см. рис. 7). Следующая бифуркация происходит при r = r₀ =s(s + b + 3)/(s – b – 1) » 24.74. В этот момент у линеаризованных в точках X₁ и X₂ систем появляется пара собственных значений на мнимой оси (при r > r₀ эти собственные значения имеют положительные вещественные части). Стационарные точки X₁ и X₂ поглощают неустойчивые циклы F₁ и F₂, теряя устойчивость (бифуркация Пуанкаре – Андронова – Хопфа). Система жестко возбуждается.

Рис. 7.

Во время описанного процесса, начиная с r = 13.92 у системы Лоренца появляется предельное инвариантное множество, но до r = r₀ оно не является устойчивым, т. е. не притягивает к себе траектории. При r Î (r₀,50]это множество L становится "устойчивым". Это и есть собственно аттрактор Лоренца. Представление о том как он выглядит может дать рис. 8, на котором изображена одна траектория системы Лоренца при r = 28:при t® +¥ она стремится к аттрактору. Траектория делает по несколько оборотов то вокруг неустойчивойстационарной точки X₁, то вокруг неустойчивой стационарной точки X₂, меняя их "случайным образом" (см.рис. 1).

Рис. 8.

Известно, что аттрактор Лоренца обладает следующими свойствами (обоснование этих свойств к настоящему моменту содержит эмпирические этапы, основанные на результатах численных расчетов).

Во-первых, L является аттрактором в том смысле, что существует открытое в R³ множество A такое, чтоL = Ç_t³0 g^tA (здесь g^t – оператор сдвига по траекториям системы Лоренца). Другими словами, всетраектории, начинающиеся в A (в данном случае в качестве A можно взять все R³, исключая начало координат), притягиваются к L.

Во-вторых, в L имеется всюду плотное множество периодических траекторий, причем каждая из нихнеустойчива.

В-третьих, траектории, лежащие в L, экспоненциально разбегаются и поэтому при сколь угодно малом возмущении начальных данных в задаче Коши для системы Лоренца решения на большом интервале времени могут различаться очень сильно. Это делает описываемый системой Лоренца процесс в некотором смысле недетерминированным.

В-четвертых, известно, что локально аттрактор Лоренца устроен как произведение канторова совершенного множества на отрезок.

Аттракторы, обладающие перечисленными свойствами, обнаружены сейчас во многих динамических системах. Их обычно называют странными аттракторами.

С тем, что происходит в системе Лоренца при больших r ясности пока нет. В некоторых интервалах изменения параметра обнаружены устойчивые периодические решения. Интересное явление наблюдается при r Î [210, 234] и r Î [145, 149]. При r = 234 система Лоренца имеет устойчивый цикл, который при уменьшении rиспытывает бифуркацию удвоения периода, теряя устойчивость и порождая устойчивый цикл двойного периода. При дальнейшем уменьшении r новый цикл также теряет устойчивость и от него, в свою очередь, ответвляется цикл двойного периода и т. д. Таким образом, возникает бесконечная последовательность {r_k} значений параметра, при котором система Лоренца испытывает бифуркацию удвоения периода. Эта последовательность удовлетворяет недавно открытому закону универсальности Фейгенбаума:

lim k®¥   rk – rk–1 rk+1 – rk = d,

где d = 4.6692... – универсальная постоянная, которая, по современным представлениям, по-видимому, не зависит от конкретной динамической системы, испытывающей бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода.