Ділення цілого невід’ємного числа на натуральне з остачею

Як відомо, деяке ціле число а може бути чи не бути кратним натуральному числу b. Якщо а кратне b, то . Якщо а не кратне b, то це означає, що при діленні а на b з’являється відмінна від нуля і менша від дільника остача, тобто , де .

Наприклад. . Маємо (остача 3), або .

Означення. Говорять, що ціле невід’ємне число а ділиться на натуральне число b з остачею, якщо існують такі цілі невід’ємні числа і , що , де .

Існування та єдиність неповної частки ( ) і ( ) встановлюється такою теоремою.

Теорема. Для будь-яких цілого і невід’ємного числа а і натурального числа b існує і причому єдина пара цілих невід’ємних чисел і , що , де .

Доведення.

1. Якщо а кратне b, то , а .

2. Якщо , то , де , бо .

3. Якщо і а не кратне b. Тоді серед чисел, кратних b, знайдуться два послідовні числа такі, що , або . Віднявши від усіх трьох частин подвійної нерівності добуток , дістанемо: . Позначимо . Тоді , де .

Доведемо, що пара чисел і єдина для даних чисел а і b. Справді, існує ще пара чисел , таких, що , де . Тоді за транзитивною властивістю рівності маємо . Нехай для визначеності . Тоді . З того, що і випливає . Отже, і тому , де . Тому , звідки .

Теорему доведено.

Теорему про ділення з остачею застосовують в арифметиці і в багатьох інших розділах математики. На ній ґрунтується подання натуральних чисел системними числами, перехід від однієї позиційної системи числення до іншої, алгоритм Евкліда, а також техніка ділення натуральних чисел «кутом».

Ділення з остачею розглядається ще в початкових класах. Наприклад, (1 остача). Тоді .

Підкреслюється, що обов’язково остача повинна бути меншою від дільника.

Важливість ділення з остачею в тому, що воно лежить в основі алгоритму ділення багатоцифрових чисел.

Тема. Прості задачі на множення та ділення

І. Задачі на розкриття конкретного змісту арифметичної дії:

· множення – знаходження добутку як суми однакових доданків:

В трьох однакових коробках лежало по 6 олівців. Скільки всього лежало олівців?

по 6 ол. – 3 к.

? ол.

6 + 6 + 6 = 6 · 3 = 18 (ол.)

· ділення – знаходження частки:

1) ділення на рівні частини:

Вчителька поділила 8 зошитів порівну між 4 учнями. Скільки зошитів одержав кожний учень?

по ? з. – 4 уч.

8 з.

8 : 4 = 2 (з.)

2) ділення на вміщення:

Маша розклала 8 кружечків в рядочки по 2 круга в кожному. Скільки рядочків отримала дівчинка?

по 2 кр. – ? р.

8 кр.

8 : 2 = 4 (р.)

ІІ. Задачі на збільшення, зменшення числа в кілька разів у прямій та непрямій формі:

· збільшення у прямій формі:

В перший корзині лежить 4 яблука, а в другій – в 3 рази більше. Скільки яблук лежить в другій корзині?

І. – 4 ябл.

ІІ. – ? ябл., в 3 рази б.

4 · 3 = 12 (ябл.)

· збільшення в непрямій формі:

В Оленки було 5 іграшок, а це в 2 рази менше, ніж у Миколи. Скільки іграшок у Миколи?

Ол. – 5 ігр., в 2 р. м. або Ол. – 5 ігр.

М. – ? ігр. М. - ?, в 2 рази б.

5 · 2 = 10 (ігр.)

· зменшення в прямій формі:

На клумбі виросло 9 білих троянд, а червоних – в 3 рази менше. Скільки червоних троянд виросло на клумбі?

Б. – 9 тр.

Ч. – ? тр., в 3 р. м.

9 : 3 = 3 (тр.)

· зменшення в непрямій формі:

В перший рядок поклали 8 квадратиків. Їх в 2 рази більше, ніж трикутників в другому ряду. Скільки поклали трикутників в другому ряду?

К. – 8 шт., в 2 р. б. або К. – 8 шт.

Т. – ? шт. Т. – ? шт., в 2 р. м.

8 : 2 = 4 (тр.)

ІІІ. Задачі на кратне порівняння (з питаннями «У скільки разів більше...?», «У скільки разів менше...?»)

1) У Мишка було 18 іграшкових автомобілів та 3 іграшкових літака. У скільки разів більше у хлопчика автомобілів, ніж літаків?

Авт. – 18 шт.

у ? р. б.

Л. – 3 шт.

18 : 3 = 6 (р.)

2) Бабусі 54 роки, а її онучці 9 років. У скільки разів онучка молодша від бабусі?

Б. – 54 р.

у ? р. м.

В. – 9 р.

54 : 9 = 6 (р.)

ІV. Задачі на знаходження числа за однією його частиною та знаходження частини числа:

1) знаходження числа за однією його частиною:

У Маринки половина стрічки має довжину 9 см. Яка довжина всієї стрічки?

9 · 2 = 18 (см)

2) знаходження частини числа:

Було 24 горіхи. Третю частину їх витратили. Скільки горіхів витратили?

24 : 3 = 8 (г.)

V. Задачі на знаходження невідомого компонента арифметичної дії:

1) знаходження невідомого множника:

Невідоме число збільшили у 3 рази і дістали 21. Яке невідоме число?

21 : 3 = 7

Число 8 помножили на невідоме число і отримали в результаті число 56. Знайти невідоме число.

56 : 8 = 7

2) знаходження діленого:

Невідоме число поділили на 5 і отримали 4. Знайти невідоме число.

4 · 5 = 20

3) знаходження дільника:

Число 27 зменшили в декілька разів і отримали 3. У скільки разів зменшили дане число?

27 : 3 = 9 (р.)