Определения смешанного произведения, его геометрический смысл

Свойства проекции вектора

1) проекция суммы векторов какую либо ось = сумме проекций слагаемых векторов на эту ось.

2) алгебраическая проекция вектора на какую либо ось = произведению блины вектора на cos угла между вектором и положит. Напр. Отрезком оси.

14. Коллинеарные векторы это векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой).

Теорема о разложении вектора.

Пусть a и b - два неколлинеарных вектора плоскости. Тогда для любого вектора m плоскости существует, и притом единственная, пара чисел x и y такая, что m= x a+ y b.

15. Векторы называются компланарными, если они принадлежат одной или параллельным плоскостям.

Для компланарности трех векторов a, b и c трехмерного пространства необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Теорема. Любой вектор m может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех любых некомпланарных векторов а, b и с:

m = xa + yb + zc

16. Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Декартовым базисом трехмерного пространства называется любые три неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке.

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ, система, введенная Рене ДЕКАРТОМ, в которой положение точки определяется расстоянием от нее до взаимно пересекающихся линий (осей). В простейшем варианте системы оси (которые обозначаются как хи у) перпендикулярны. Положение точки задается парой чисел (х, у). Абсцисса, х, -это расстояние от точки до оси у,измеренное в направлении оси х; ордината, у, -это расстояние до оси х.

Если векторы e1, e2 и e3, составляющие базис, — попарно перпендикулярные единичные векторы, то система координат О, e1, e2 , e3 называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.

Определения смешанного произведения, его геометрический смысл

Рассмотрим произведение векторов а, b и с, составленное следующим образом: (ахb )•с. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторноскалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Выясним геометрический смысл выражения (ахb )*с. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а, b , с и вектор d =ахb (см. рис. 22).

Имеем: (а х b) • с = d • с = |d| • пр_dс, |d|=| а х b| =S, где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, пр_dс = Н Для правой тройки векторов и пр_dс = - Н для левой, где Н— высота параллелепипе­да. Получаем: (axb )*c =S *(±H ), т. е. (axb )*c =±V , где V — объем параллелепипеда, образованного векторами а, b и с.

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

28. Компланарные векторы

Определение.

Векторы называются компланарными, если они принадлежат одной или параллельным плоскостям.

Два вектора и трехмерного пространства всегда компланарны. Это утверждение легко доказать. Пусть a и b – прямые, на которых лежат векторы и соответственно. Проведем через начало вектора прямую b₁, параллельную прямой b, а через начало вектора прямую a₁, праллельную прямой a. Плоскости, образуемые прямыми a и b₁, а так же прямымиb и a₁, параллельны по построению, а векторы и принадлежат им. Следовательно, векторы и компланарны.А как же определить, являются ли три вектора компланарными?Для этого существует необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов в пространстве. Оно основано на понятии смешанного произведения векторов. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

Для компланарности трех векторов и трехмерного пространства необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство.

Пусть , докажем что векторы и компланарны.Так как , то векторы и перпендикулярны в силу необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов. С другой стороны, по определению векторного произведения вектор перпендикулярен и вектору и вектору . Следовательно, векторы и компланарны, так как перпендикулярны одному вектору .Пусть теперь векторы и компланарны, докажем равенство нулю смешанного произведения .Так как векторы и компланарны, то вектор перпендикулярен каждому из них, следовательно, скалярное произведение вектора на равно нулю, что означает равенство нулю смешанного произведения .

Итак, теорема полностью доказана.