Приложения смешанного произведения в геометрии
1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.
Определение взаимной ориентации векторов , и основано на следующих соображениях. Если , то , и - правая тройка; если , то , и - левая тройка.
2. Установление компланарности векторов.
Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю :
векторы , и компланарны.
3. Определение объема параллелепипеда и треугольной пирамиды.
Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и вычисляется как , а объем треугольной пирамиды, построенный на этих же векторах, равен .
Пример 5.1. Даны векторы . Найти смешанное произведение векторов и двумя способами. Выяснить, будут ли эти векторы компланарными. Какую тройку, левую или правую, они образуют? Найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Решение. Для нахождения смешанного произведения векторов и первым способом, воспользуемся определением. Сначала найдем векторное произведение векторов и по формуле (4.3):
.
Далее находим скалярное произведение векторов и по формуле (3.2):
.
Чтобы найти смешанное произведение трех векторов и вторым способом, воспользуемся формулой (5.2):
.
Итак, .
Так как , то заданные векторы не компланарны.
Поскольку , то эти векторы образуют правую тройку.
Искомый объем параллелепипеда .
,
Пример 5.2. Даны вершины тетраэдра . Найти: 1) площадь сечения , если − середина ребра . 2) высоту тетраэдра, опущенную из вершины D.
Решение. 1) Находим координаты точки − середина ребра :
.
.
Значит, .
2) Пусть DH – высота тетраэдра. Объем тетраэдра находится по формуле
.
Значит, . Решение задачи сводится к определению объема тетраэдра и площади треугольника ABC. , где - объем параллелепипеда, построенного на векторах ; , где - площадь параллелограмма, построенного на векторах .
По формуле (2.10) находим координаты векторов :
.
Находим смешанное произведение векторов по формуле (5.2):
.
Значит, .
Находим векторное произведение векторов по формуле 4.3:
.
Значит, .
Теперь находим высоту тетраэдра:
.
,
6. БАЗИС.
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ
Линейно зависимые и линейно независимые
Системы векторов
Выше были введены операции над векторами, находящимися на плоскости ( ) или в 3-х-мерном пространстве ( ). Так же было определено понятие «n-мерный вектор», и введены операции над ними в n-мерном пространстве.
Если мы в n-мерном пространстве рассматриваем точку , то этой точке можно поставить в соответствие радиус-вектор . Можно сформулировать и обратное утверждение: каждому радиус-вектору ставиться в соответствие точка , т.е.
.
Теперь можно ввести корректное понятие «n-мерное векторное пространство».
Определение 6.1. Множество всех n-мерных векторов, в котором для любых двух векторов определена их сумма, и для любого действительного числа определено произведение вектора на это число, называется действительнымn-мерных векторным арифметическим пространством .
Если в n-мерном векторном пространстве введена операция скалярного умножения, то оно называется евклидовым пространством.
Надо отметить, что любую совокупность векторов пространства можно считать как систему векторов.
Для характеристики взаимного расположения векторов в пространстве вводится понятие линейной зависимости между векторами.
Определение 6.2. Вектор называется линейной комбинациейвекторов системы , если существуют такие числа , что
. (6.1)
Числа называются коэффициентами линейной комбинации. В этом случае говорят, что вектор линейно выражается через систему векторов или вектор разложен по векторам системы . Введением понятия линейной комбинации мы объединили понятия сложения векторов и умножения вектора на число.
Определение 6.3. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что
. (6.2)
В противном случае векторы называются линейно независимыми.
Приведем теоремы (без доказательства), устанавливающие условия линейной зависимости векторов на плоскости и в 3-х-мерном пространстве.
Теорема 6.1. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, а два неколлинеарных вектора линейно независимы.
Теорема 6.2. Три компланарных вектора линейно зависимы, а три некомпланарных вектора линейно независимы.
Пример 6.1. Выяснить, будет ли данная система векторов линейно зависимой или независимой
.
Решение. Составим их линейную комбинацию:
или
.
Такое векторное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:
.
Составляем матрицу системы и приводим к ступенчатому виду:
~ ~ .
Последняя матрица равносильна следующей системе уравнений:
Можно не решая системы уравнений сказать, что система имеет бесчисленное множество решений, среди которых есть ненулевое. Значит, система векторов линейно зависима.
Например, частным решением является: . Значит, , т.е. указанная система векторов линейно зависима.
,
Базис системы векторов.