Приложения смешанного произведения в геометрии

1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.

Определение взаимной ориентации векторов Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru и Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru основано на следующих соображениях. Если Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , то Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru и Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru - правая тройка; если Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , то Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru и Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru - левая тройка.

2. Установление компланарности векторов.

Векторы Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru и Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru :

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru векторы Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru и Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru компланарны.

3. Определение объема параллелепипеда и треугольной пирамиды.

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru и Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru вычисляется как Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , а объем треугольной пирамиды, построенный на этих же векторах, равен Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Пример 5.1. Даны векторы Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru . Найти смешанное произведение векторов Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru и Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru двумя способами. Выяснить, будут ли эти векторы компланарными. Какую тройку, левую или правую, они образуют? Найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Решение. Для нахождения смешанного произведения векторов Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru и Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru первым способом, воспользуемся определением. Сначала найдем векторное произведение векторов Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru и Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru по формуле (4.3):

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Далее находим скалярное произведение векторов Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru и Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru по формуле (3.2):

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Чтобы найти смешанное произведение трех векторов Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru и Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru вторым способом, воспользуемся формулой (5.2):

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Итак, Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Так как Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , то заданные векторы не компланарны.

Поскольку Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , то эти векторы образуют правую тройку.

Искомый объем параллелепипеда Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

,

Пример 5.2. Даны вершины тетраэдра Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru . Найти: 1) площадь сечения Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , если Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru − середина ребра Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru . 2) высоту тетраэдра, опущенную из вершины D.

Решение. 1) Находим координаты точки Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru − середина ребра Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru :

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Значит, Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

2) Пусть DH – высота тетраэдра. Объем тетраэдра находится по формуле

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Значит, Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru . Решение задачи сводится к определению объема тетраэдра и площади треугольника ABC. Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , где Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru - объем параллелепипеда, построенного на векторах Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru ; Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , где Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru - площадь параллелограмма, построенного на векторах Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

По формуле (2.10) находим координаты векторов Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru :

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Находим смешанное произведение векторов Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru по формуле (5.2):

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Значит, Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Находим векторное произведение векторов Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru по формуле 4.3:

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Значит, Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Теперь находим высоту тетраэдра:

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

,

6. БАЗИС.

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ

Линейно зависимые и линейно независимые

Системы векторов

Выше были введены операции над векторами, находящимися на плоскости ( Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru ) или в 3-х-мерном пространстве ( Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru ). Так же было определено понятие «n-мерный вектор», и введены операции над ними в n-мерном пространстве.

Если мы в n-мерном пространстве рассматриваем точку Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , то этой точке можно поставить в соответствие радиус-вектор Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru . Можно сформулировать и обратное утверждение: каждому радиус-вектору Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru ставиться в соответствие точка Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , т.е.

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Теперь можно ввести корректное понятие «n-мерное векторное пространство».

Определение 6.1. Множество всех n-мерных векторов, в котором для любых двух векторов определена их сумма, и для любого действительного числа определено произведение вектора на это число, называется действительнымn-мерных векторным арифметическим пространством Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Если в n-мерном векторном пространстве Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru введена операция скалярного умножения, то оно называется евклидовым пространством.

Надо отметить, что любую совокупность векторов Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru пространства Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru можно считать как систему векторов.

Для характеристики взаимного расположения векторов в пространстве вводится понятие линейной зависимости между векторами.

Определение 6.2. Вектор Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru называется линейной комбинациейвекторов системы Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , если существуют такие числа Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , что

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru . (6.1)

Числа Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru называются коэффициентами линейной комбинации. В этом случае говорят, что вектор Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru линейно выражается через систему векторов Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru или вектор Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru разложен по векторам системы Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru . Введением понятия линейной комбинации мы объединили понятия сложения векторов и умножения вектора на число.

Определение 6.3. Система векторов Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru называется линейно зависимой, если существуют такие числа Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru . (6.2)

В противном случае векторы Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru называются линейно независимыми.

Приведем теоремы (без доказательства), устанавливающие условия линейной зависимости векторов на плоскости и в 3-х-мерном пространстве.

Теорема 6.1. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, а два неколлинеарных вектора линейно независимы.

Теорема 6.2. Три компланарных вектора линейно зависимы, а три некомпланарных вектора линейно независимы.

Пример 6.1. Выяснить, будет ли данная система векторов линейно зависимой или независимой

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Решение. Составим их линейную комбинацию:

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru

или

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Такое векторное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Составляем матрицу системы и приводим к ступенчатому виду:

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru ~ Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru ~ Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru .

Последняя матрица равносильна следующей системе уравнений:

Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru

Можно не решая системы уравнений сказать, что система имеет бесчисленное множество решений, среди которых есть ненулевое. Значит, система векторов линейно зависима.

Например, частным решением является: Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru . Значит, Приложения смешанного произведения в геометрии - student2.ru , т.е. указанная система векторов линейно зависима.

,

Базис системы векторов.

Наши рекомендации