Векторный потенциал

Векторный потенциал (М) определяется с точностью до градиента произвольного соленоидального поля f(М).

В самом деле, если rot (М)= (М) и f(M) – произвольное скалярное поле, то поскольку rot grad f(M)=0, получаем rot( (М)+grad f(M)) = rot (М)+ rot grad f(M)= (М).

Для того чтобы непрерывно дифференцируемое поле (М) было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело векторный потенциал (М). Необходимость этого условия является следствием разрешимости системы дифференциальных уравнений:

(1)

при условии div =0 ( ).

Покажем как можно найти векторный потенциал (М). поскольку в выборе этого вектора имеется значительная доля произвола примем A_x=0. Тогда система (1) примет вид

(2)

Таким образом, задача сводиться к определению функции A_y и A_z, удовлетворяющих условиям (2) при условии, что известные функции P, Q, R таковы, что div =0. Пусть М₀(x₀,y₀,z₀) – фиксированная, М(x,y,z) – произвольные точки параллелепипеда W.

Рис. 6.

Рассмотрим функции

A_y(x,y,z)= A_z(x,y,z)= (3)

Условие задания поля (М) в параллелепипеде с гранями, параллельными плоскостям координат, гарантирует, что пути интегрирования в этих формулах не выйдут за пределы поля. Применяя правила дифференцирования определенного интеграла по параметру и по верхнему пределу и принимая во внимание условие div =0 , получим , что обе функции A_y и A_z, определенные равенствами (3) удовлетворяют и первому из условий (2). Таким образом, = А_х + A_y +A_z , координаты A_y и A_z определяются формулами (3). Для этого вектора выполняется условие rot = .

74. Найти векторный потенцал

для соленоидального поля, задаваемого вектором а = 2уi - zj + 2хk.

Ответы:

10. Область определения – круг x²+y²£9; линии уровня – семейство концентрических окружностей

x²+y²=9–с² (|с| £ 3).

11. Поле определено во всем пространстве, за исключением точки r=0; поверхности уровня –сферы r=c c центром в точке, где находится заряд.

12.Поле определено в области z²+y²–x²³0;поверхности уровня – круговые конусы а²(z²+y²)–x²=0 (|а| £ 1).

13. Линии уровня u=c представляют собой семейство гипербол x²–y²=(–1)ⁿ arcsin c +pn, где n–целое число.

14. Поле определено во всем пространстве, за исключением плоскости z=0; поверхности уровня – параболоиды вращения x² +y²=сz (–¥<c<¥).

15. а) –4 +2 –4 . б) 12 – ; в) + .

16. Прямые, проходящие через начало координат.

17. x² -y²=с; z=h.

18. x³ +y³=c₁; z³ +y³=c₂.

19. y=c₁z; x² +y²+ z²= c₂y.

20. Окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к прямой, проходящей через начало координат и имеющей направление вектора ; центры этих окружностей лежат на этой прямой.

22. Окружности с центром на оси Оy , проходящей через начало координат.

23. Направление наибыстрейшего возрастания функции в точке (0,0) совпадает с положительным направлением оси Оy.

24. 1) tgj »0,342, j »18⁰52’; 2) tgj »4,87, j »78⁰24’.

25. Отрицательная полуось оси Оy.

26. 1) cosa »0,99; a=8⁰; 2) cosa » –0,199; a=101⁰30’;

30. Ц= –pb².

31. Ц= –p.

32. Ц= R⁶

33. а) Ц=2p; б) Y=2p.

39. .

40.

41.0.

42. 4pabc.

43. .

44. .

45. 1.

46. .

47. .

48. a) 4pa³; б) 0. Дополните поверхность S до замкнутой; в)0; г) p. Дополните поверхность S до замкнутой; д)0; е) ; ж) 3а⁴.

52.

53. .

60. а) rot = –2cos(2x–y–z)( +2 ); б) rot =x(z²-y²) + y(x²-z²) + z(y²-x²) ; в) rot = .

61. =20 +26 –24 .

62. .

63.–2a² .

64. а) Ц=2p; б) Ц=0.

68. .

69. (x³+2y³+z³)+3xyz + c.

70.

71. Нет.

72. Потенциальными являются поля и .

73. (x,y,z)=xyz(x+y+z)+c, где с произвольная постоянная.

74. х²j + (хz + y²)k.

Литература

1. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. М.: Госкомвуз России, 2000.

2. Никольский С.М. Курс математического анализа, том. II- М.: Наука, 1973.

3. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. II.- М.: Наука, 1984

4. Уваров В.Б. Математический анализ. М.: Высш.шк.,1984.

5. Ефимов А.В. и др. Математический анализ (специальные разделы) ч.II. Применение некоторых методов математического и функционального анализа. - М.: Высш. шк., 1980.

6. Кальницкий Л.А и др. Специальный курс высшей математики для вутзов. М.: Высш. шк., 1976.

7. Несис Е.И. Методы математической физики. - М.: Просвещение, 1977.

8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1972.

9. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1985.

10. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных. - М.: Высш. шк. ,1988.

11. Филиппенко В.И. Приложения кратных интегралов. – Кривой Рог, 1998.

12. Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. – М.: Изд – во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001.