Равномерная сходимость ряда

На уроке о разложении функций в степенные ряды я рассказал вам о самом понятиисходимости ряда и сейчас настал момент познакомиться с важнейшим свойствомсходящихся функциональных рядов, а именно с равномерностью сходимости. Ничего сложного в этом нет, как обычно – немного теории и обильная практика. Впрочем, «чайникам» таки лучше начать с первой статьи по теме (ссылка выше), а может быть и вообще с числовых рядов.

Сначала немного освежим воспоминания. Рассмотрим функциональный ряд
Равномерная сходимость ряда - student2.ru и предположим, что данный ряд сходится к функции Равномерная сходимость ряда - student2.ru на некотором промежутке (интервале, полуинтервале или каком-то другом). Что значит «сходится»?

Распишем стройную шеренгу частичных сумм. По сути дела – это тоже «обычные» функции:
Равномерная сходимость ряда - student2.ru

Если мы возьмём, например, функцию, состоящую из первых трёх членов ряда Равномерная сходимость ряда - student2.ru , то её график (в общем случае) будет мало напоминать график функции Равномерная сходимость ряда - student2.ru :
Равномерная сходимость ряда - student2.ru
Если рассмотреть функцию из первых 10 членов ряда Равномерная сходимость ряда - student2.ru , то приближение будет уже лучше. И чем больше членов ряда взять – тем ближе график Равномерная сходимость ряда - student2.ru приблизится к графику Равномерная сходимость ряда - student2.ru . Ну а в пределе, не нужно быть провидцем:

Равномерная сходимость ряда - student2.ru

Функция Равномерная сходимость ряда - student2.ru называется суммой функционального ряда: Равномерная сходимость ряда - student2.ru , и как видите, определяется она по тому же принципу, что и сумма ряда числового – через предел частичной суммы.

При этом ещё раз подчёркиваю, что все события происходят в некотором промежутке сходимости ряда. Ибо если при каких-то значениях «икс» функциональный ряд Равномерная сходимость ряда - student2.ru расходится, то ни о какой сумме речи быть не может.

Казалось бы, всё просто как пять копеек, однако не тут-то было. Во многих задачах важнА не только сама по себе сходимость, но ещё и её характер суровый, нордический. А сходиться ряд к своей сумме может по-разному: равномерно и неравномерно. Эти термины имеют самый что ни на есть человеческий смысл, в котором мы разберёмся буквально на ближайшем экране. И коль скоро, жизнь довела вас до равномерной сходимости ряда, то объяснять я буду строго – с помощью Равномерная сходимость ряда - student2.ru -окрестности =) Выкладки будут весьма похожи на определение предела числовой последовательности. Что не удивительно – ведь сейчас мы тоже изучаем последовательность, только функциональную: Равномерная сходимость ряда - student2.ru – частичных сумм ряда Равномерная сходимость ряда - student2.ru в его промежутке сходимости.

Рассмотрим произвольное значение Равномерная сходимость ряда - student2.ru , которое может быть сколь угодно малым, и заключим сумму ряда Равномерная сходимость ряда - student2.ru в своеобразный «коридор» из двух функций: Равномерная сходимость ряда - student2.ru и Равномерная сходимость ряда - student2.ru . Это и есть Равномерная сходимость ряда - student2.ru -окрестность суммы:
Равномерная сходимость ряда - student2.ru
Пусть некоторое приближение Равномерная сходимость ряда - student2.ru (синий цвет) ПОЛНОСТЬЮ лежит внутри «коридора». Аналитически это запишется следующим образом: Равномерная сходимость ряда - student2.ru (для любого «икс») из промежутка сходимости выполнено неравенство Равномерная сходимость ряда - student2.ru . На всякий случай «распакую» модульдля сомневающихся:
Равномерная сходимость ряда - student2.ru

Говорят, что ряд Равномерная сходимость ряда - student2.ru сходится равномерно к функции Равномерная сходимость ряда - student2.ru на некотором промежутке, если для любого значения Равномерная сходимость ряда - student2.ru (заранее выбранного и сколь угодно малого) и СРАЗУ ДЛЯ ВСЕХ «икс» из данного промежутка найдётся натуральный номер Равномерная сходимость ряда - student2.ru (зависящий от «эпсилон»), ТАКОЙ, что для всех номеров Равномерная сходимость ряда - student2.ru будет выполнено неравенство Равномерная сходимость ряда - student2.ru .

Иными словами, равномерная сходимость подразумевает тот факт, что какой бы мизерный«коридор» мы ни рассмотрели – всегда найдётся частичная сумма Равномерная сходимость ряда - student2.ru , график которой ПОЛНОСТЬЮ окажется внутри «коридора», т.е. будет отличаться от точной суммы по модулю меньше, чем на «эпсилон»:
Равномерная сходимость ряда - student2.ru – для ВСЕХ «икс» из промежутка сходимости.
И, разумеется, внутри Равномерная сходимость ряда - student2.ru -окрестности также окажутся все приближения Равномерная сходимость ряда - student2.ru более высоких порядков

Изложенное свойство выглядит совершенно естественным, но впечатление это обманчиво. Функциональный ряд может сходиться к своей сумме и неравномерно. В этом случае найдётся такое значение Равномерная сходимость ряда - student2.ru (нередко достаточно большое), для которого не существует приближения Равномерная сходимость ряда - student2.ru , которое бы ЦЕЛИКОМ лежало в коридоре. И здесь типично появление «волны»:
Равномерная сходимость ряда - student2.ru
С неограниченным увеличением Равномерная сходимость ряда - student2.ru график «синего» приближения Равномерная сходимость ряда - student2.ru будет бесконечно близко приближаться к своей сумме Равномерная сходимость ряда - student2.ru , однако ж «волна» никуда не денется – она будет перемещаться справа налево (например) и бесконечно истончаться, но так и останется ВЫШЕ графика «моря» Равномерная сходимость ряда - student2.ru .

Собственно, в этом и проявляется неравномерность сходимости – даже при ОЧЕНЬ больших значениях «эн» график Равномерная сходимость ряда - student2.ru уж практически везде сольётся с графиком Равномерная сходимость ряда - student2.ru , да всё-таки не везде – найдётся малюсенький участок промежутка сходимости, где расхождение Равномерная сходимость ряда - student2.ru будет больше, чем «эпсилон».

Следует отметить, что с геометрической точки зрения неравномерность может проявляться не только «волной». Разберём хрестоматийный пример, который встречается практически в любом учебнике – не могу удержаться, поскольку нагляднее пример найти трудно:

Рассмотрим функциональный ряд Равномерная сходимость ряда - student2.ru и составим последовательность его частичных сумм:
Равномерная сходимость ряда - student2.ru

…Эх, где ж мои 12 лет? =) В ходе изучения математики, наверное, многие подметили, что на отрезке Равномерная сходимость ряда - student2.ru с увеличением степени график Равномерная сходимость ряда - student2.ru всё ближе и ближе прижимается к оси Равномерная сходимость ряда - student2.ru :
Равномерная сходимость ряда - student2.ru
Таким образом, логично предположить, что последовательность частичных сумм Равномерная сходимость ряда - student2.ru сходится к нулевой функции Равномерная сходимость ряда - student2.ru на данном промежутке, причём из чертежа явственно виден неравномерный характер этой сходимости – даже при ОЧЕНЬ больших значениях Равномерная сходимость ряда - student2.ru найдётся наноскопический участок, где график Равномерная сходимость ряда - student2.ru окажется «подвешен» к верхней точке, в то время как львиная его часть будет уже «на дне».

Установим факт сходимости аналитически:
Равномерная сходимость ряда - student2.ru

И здесь обнаруживается довольно таки интересная вещь: если Равномерная сходимость ряда - student2.ru , то суммой функционального ряда действительно является ось абсцисс Равномерная сходимость ряда - student2.ru , однако при Равномерная сходимость ряда - student2.ru :
Равномерная сходимость ряда - student2.ru

Вот так вот рвутся шаблоны! – несмотря на то, что все члены последовательности Равномерная сходимость ряда - student2.ru непрерывны, её предел терпит разрыв:
Равномерная сходимость ряда - student2.ru

И такая ситуация возможна только при НЕравномерной сходимости ряда! Кстати, доказывается неравномерность в данном примере элементарно – берём любую окрестность Равномерная сходимость ряда - student2.ru и опровергаем определение равномерной сходимости.

Какой можно привести пример равномерно сходящегося ряда? В статье о разложениях функций в степенные ряды в качестве подопытного образца я начал мучить ряд Равномерная сходимость ряда - student2.ru и сейчас исследование получает своё продолжение, поскольку сходимость тут как раз равномерна.

Рассмотрим достаточно большой отрезок числовой прямой,… да чего тут мелочиться, пожалуйста, поднимите руку вверх и чуть-чуть согните указательный палец. Это будет начало синусоиды. Теперь мысленно продолжите её до Солнца. …ну, может кто-то хочет до Луны или до соседнего дома – без проблем =) …Представили? Отлично! Обозначим данный кусок через Равномерная сходимость ряда - student2.ru .

В чём состоит эффект равномерности? Если мы возьмём сколь угодно малую Равномерная сходимость ряда - student2.ru -окрестность этого куска, то для неё найдётся натуральный номер Равномерная сходимость ряда - student2.ru (пусть гигантский), начиная с которого: Равномерная сходимость ряда - student2.ru , график любого приближения Равномерная сходимость ряда - student2.ru ПОЛЬНОСТЬЮ оказывается внутри заявленного «коридора»: Равномерная сходимость ряда - student2.ru – для ВСЕХ «икс» промежутка – что вблизи вашей руки, что вблизи Солнца, что посередине! СТРОГО внутри, никаких «подвисаний» и тем более «заскоков».

И тот же самый факт справедлив для сколь угодно длинного участка синусоиды (т.к. разложение синуса сходится на всей числовой прямой).

Что можно извлечь полезного из этого примера? …Теперь, когда преподаватель заметит ваш необычный жест или застукает в неловкой позе – вам будет, чем оправдаться! =)

А если серьёзно, то равномерность сходимости приносит нам много плюшек, в частности непрерывность суммы ряда (если частичные суммы непрерывны), а также возможность почленно дифференцировать и интегрировать ряд (с некоторыми дополнительными условиями), чем мы уже активно пользовались на уроке о сумме степенного ряда.

Как доказать равномерность сходимости?

Для некоторых рядов это можно сделать с помощью определения. Алгоритм решения опять же похож на доказательство предела числовой последовательности: для произвольной Равномерная сходимость ряда - student2.ru -окрестности суммы Равномерная сходимость ряда - student2.ru нужно указать натуральный номер Равномерная сходимость ряда - student2.ru – такой, что для любого бОльшего номера Равномерная сходимость ряда - student2.ru и СРАЗУ ДЛЯ ВСЕХ «икс» исследуемого промежутка выполнено неравенство Равномерная сходимость ряда - student2.ru . В случае неравномерно сходящегося ряда такого номера не найдётся, поскольку Равномерная сходимость ряда - student2.ru будет зависеть ещё и от «икс».

Кроме того, существует эквивалентное определение, сформулированное через остаток ряда. Соответствующие примеры можно найти, например, во 2 томе Бохана, но особенно интересно материал изложен у Фихтенгольца (тоже том 2). Ну а я перехожу практической части урока.

На практике в большинстве случаев определение оказывается малопригодным, и поэтому для выявления равномерности обычно пользуются специальными признаками, которые доказаны в теории. Известнейшим, и, пожалуй, единственным признаком, с которым вам придётся реально столкнуться, называется:

Наши рекомендации