Теорема пропорциональности

Если и A постоянная величина, то

Теорема смещения (запаздывания)

Если - отрезок времени, то

Следовательно, спектральная плотность импульса, возникшего на секунд позднее, равна спектральной плотности исходного импульса , умноженной на . Этот множитель изменяет только фазовые соотношения в спектре.

Существенное влияние на состав спектральной плотности ока­зывает симметрия импульса. Если четная функция (симметрия относительно оси ординат), т. е. , то спектральная плотность является чисто действительной функцией частоты. В случае, когда нечетная функция (симметрия относительно начала координат), т. е.

чисто мнимая функция.

Пример 2. Найти спектральную плотность экспоненциального импульса

где Е - амплитуда импульса;

параметр;

- момент "начала" импульса;

- вспомогательная единичнаяфункция, обеспечивающая при всех , так как

Считают, что экспоненциальный импульс, представленный на рис.3.а в нормированном виде при , существует в пределах интервала , так как при "хвост" импульса меньше уровня 1%.

После подстановки в формулу (23), получаем при

Так как ,то спектральную плотность можно представить, в показательной форме:

Модуль и аргумент спектральной плотности импульса, т. е. амплитудная и фазовая спектральные характеристики, изображены сплошной и пунктирной кривыми на рис.3,б.

Последнее выражение можно использовать два нахождении по формуле (22) спектра периодической последовательности экспоненциальных импульсов, изображенной на рис.3.г для случая Амплитудно-частотный спектр последовательности приведен на рис.3.в, Этот спектр – дискретный, частоты соседних составлявших различаются на , а функция играет роль огибающей амплитуд спектра. Нетрудно проследить, как при увеличат периода (уменьшении ) составляющие спектра сближаются по частоте и уменьшается по амплитуде. В пределе (при и ) получится; сплошной спектр одиночного импульса с бесконечно малыми по амплитуде составляющими.

В заключение определим ширину спектра экспоненциального импульса, используя формулу (26). Полная энергия импульса равна:

Вычисление левой части формулы (26) не вызывает трудностей, так как, обозначив получаем табличный интеграл

После подстановки полученных выражений и в формулу (26) находим ширину спектра импульса .

Рис.З.Экспоненциальный импульс, его спектральная функции и амплитудный спектр периодической последовательности импульсов.

Рис.4

Таким образом чем короче импульс, тем шире его спектр.