Системы дифференциальных уравнений 1-го порядка

Оглавление

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений................................ 1

1. Введение.................................................................................................... 2

2. Системы дифференциальных уравнений 1-го порядка.......................... 3

3. Системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка......... 2

4. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.............................................................................................. 3

5. Системы неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами.............................................................................................. 2

Преобразование Лапласа................................................................................ 1

6. Введение.................................................................................................... 2

7. Свойства преобразования Лапласа......................................................... 3

8. Приложения преобразования Лапласа................................................... 2

Введение в интегральные уравнения............................................................... 1

9. Введение.................................................................................................... 2

10. Элементы общей теории линейных интегральных уравнений............. 3

11. Понятие об итерационном решении интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода.......................................................................................................................... 2

12. Уравнение Вольтерра............................................................................ 2

13. Решение уравнений Вольтерра с разностным ядром с использованием преобразования Лапласа................................................................................ 2

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Введение

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений состоят из нескольких уравнений, содержащих производные неизвестных функций одного переменного. В общем случае такая система имеет вид

где – неизвестные функции, t – независимая переменная, – некоторые заданные функции, индекс нумерует уравнения в системе. Решить такую систему – значит найти все функции , удовлетворяющие этой системе.

В качестве примера рассмотрим уравнение Ньютона, описывающее движение тела массы под действием силы :

где – вектор, проведенный из начала координат к текущему положению тела. В декартовой системе координат его компонентами являются функции Таким образом, уравнение (1.2) сводится к трем дифференциальным уравнениям второго порядка

Для нахождения функций в каждый момент времени , очевидно, надо знать начальное положение тела и его скорость в начальный момент времени – всего 6 начальных условий (что отвечает системе из трёх уравнений второго порядка):

Уравнения (1.3) вместе с начальными условиями (1.4) образуют задачу Коши, которая, как ясно из физических соображений, имеет единственное решение, дающее конкретную траекторию движения тела, если сила удовлетворяет разумным критериям гладкости.

Важно отметить, что эта задача может быть сведена к системе из 6 уравнений первого порядка введением новых функций. Обозначим функции как , и введем три новые функции , определенные следующим образом

Систему (1.3) теперь можно переписать в виде

Таким образом, мы пришли к системе из шести дифференциальных уравнений первого порядка для функций Начальные условия для этой системы имеют вид

Первые три начальных условия дают начальные координаты тела, последние три – проекции начальной скорости на оси координат.

Пример 1.1. Свести систему двух дифференциальных уравнений 2-го порядка

к системе из четырех уравнений 1-го порядка.

Решение. Введем следующие обозначения:

При этом исходная система примет вид

Еще два уравнения дают введенные обозначения:

Окончательно, составим систему дифференциальных уравнений 1-го порядка, эквивалентную исходной системе уравнений 2-го порядка

Эти примеры иллюстрируют общую ситуацию: любая система дифференциальных уравнений может быть сведена к системе уравнений 1-го порядка. Таким образом, в дальнейшем мы можем ограничиться изучением систем дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Системы дифференциальных уравнений 1-го порядка

В общем виде систему из n дифференциальных уравнений 1-го порядка можно записать следующим образом:

где – неизвестные функции независимой переменной t, – некоторые заданные функции. Общее решение системы (2.1) содержит n произвольных констант, т.е. имеет вид:

При описании реальных задач с помощью систем дифференциальных уравнений конкретное решение, или частное решение системы находится из общего решения заданием некоторых начальных условий. Начальное условие записывается для каждой функции и для системы n уравнений 1-го порядка выглядит так:

Решения определяют в пространстве линию, которая называется интегральной линией системы (2.1).

Сформулируем теорему существования и единственности решения для систем дифференциальных уравнений.

Теорема Коши. Система дифференциальных уравнений 1-го порядка (2.1) вместе с начальными условиями (2.2) имеет единственное решение (т.е. из общего решения определяется единственный набор констант ), если функции и их частные производные по всем аргументам ограничены в окрестности этих начальных условий.

Естественно речь идет о решении в какой-то области переменных .

Решение системы дифференциальных уравнений можно рассматривать как вектор-функцию X, компонентами которого являются функции а набор функций – как вектор-функцию F, т.е.

Используя такие обозначения, можно кратко переписать исходную систему (2.1) и начальные условия (2.2) в так называемой векторной форме:

(2.1a)

(2.2a)

Одним из методов решения системы дифференциальных уравнений является сведение этой системы к одному уравнению более высокого порядка. Из уравнений (2.1), а также уравнений, полученных их дифференцированием, можно получить одно уравнение n-го порядка для любой из неизвестных функций Интегрируя его, находят неизвестную функцию Остальные неизвестные функции получаются из уравнений исходной системы и промежуточных уравнений, полученных при дифференцировании исходных.

Пример 2.1. Решить систему двух дифференциальных первого порядка

сведя его к одному уравнению 2-го порядка.

Решение. Продифференцируем второе уравнение:

Производную выразим через первое уравнение

Из второго уравнения

тогда

Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение

откуда получаем Тогда общим решением данного дифференциального уравнения будет

Мы нашли одну из неизвестных функций исходной системы уравнений. Пользуясь выражением можно найти и :

Решим задачу Коши при начальных условиях

Подставим их в общее решение системы

и найдем константы интегрирования:

Таким образом, решением задачи Коши будут функции

Графики этих функций изображены на рисунке 1.

Рис. 1. Частное решение системы примера 2.1 на интервале

Пример 2.2.Решить систему

сведя его к одному уравнению 2-го порядка.

Решение. Дифференцируя первое уравнение, получим

Пользуясь вторым уравнением, приходим к уравнению второго порядка для x:

Нетрудно получить его решение, а затем и функцию , подставив найденное в уравнение . В результате имеем следующее решение системы:

Замечание. Мы нашли функцию из уравнения . При этом на первый взгляд кажется, что можно получить то же самое решение, подставив известное во второе уравнение исходной системы

и проинтегрировав его. Если находить таким образом, то в решении появляется третья, лишняя константа:

Однако, как нетрудно проверить, исходной системе функция удовлетворяет не при произвольном значении , а только при Таким образом, определять вторую функцию следует без интегрирования.

Сложим квадраты функций и :

Полученное уравнение дает семейство концентрических окружностей с центром в начале координат в плоскости (см. рисунок 2). Полученные параметрические кривые называются фазовыми кривыми, а плоскость, в которой они расположены – фазовой плоскостью.

Подставляя какие-либо начальные условия в исходное уравнение, можно получить определенные значения констант интегрирования , а значит окружность с определенным радиусом в фазовой плоскости. Таким образом, каждому набору начальных условий соответствует конкретная фазовая кривая. Возьмем, например, начальные условия . Их подстановка в общее решение дает значения констант , таким образом, частное решение имеет вид . При изменении параметра на интервале мы следуем вдоль фазовой кривой по часовой стрелке: значению отвечает точка начального условия на оси , значению - точка на оси , значению - точка на оси , значению - точка на оси , при мы возвращаемся в начальную точку .

Рис. 2. Фазовая плоскость для примера 2.2

Иногда систему дифференциальных уравнений удается легко решить, подобрав интегрируемые комбинации неизвестных функций. Рассмотрим этот метод решения на примере.

Пример 2.3. Решить систему

подобрав интегрируемую комбинацию.

Решение. Складывая эти два уравнения, получим

Разделяя переменные, решаем это дифференциальное уравнение относительно :

или

Вычтем из первого уравнения второе и решим полученное дифференциальное уравнение относительно :

Из двух полученных уравнений теперь нетрудно выразить и :

(множитель 1/2 был внесен в константы интегрирования).

Задачи

Решить следующие системы дифференциальных уравнений повышением порядка и решить задачу Коши с произвольными начальными условиями.

2.1 2.6

2.2 2.7

2.3 2.8

2.4 2.9

2.5 2.10

Ответы

2.1 2.6

2.2 2.7

2.3 2.8

2.4 2.9

2.5 2.10