Приклади розв’язування задач на послідовності незалежних випробувань.

1. В урні 15 кульок: 10 чорних в 5 білих. Випробування виконують так: виймають одну кульку, фіксують її колір і кладуть назад; перемішують кульки і виймають ще одну кульку. Таку процедуру повторюють кілька разів. Яка ймовірність того, що під час такого випробування з п’яти вийнятих кульок буде чотири білих?

Розв’язування

Ймовірність вийняти білу кульку під час кожного випробування дорівнює а ймовірність того, що білої кульки не виймуть, дорівнює 1 – р = 2/3. За формулою Бернуллі знаходимо ймовірність появи чотирьох білих кульок серед п’яти вийнятих:

2. Два рівносильних шахісти грають в шахи. Що вірогідніше виграти: дві партії з чотирьох, чи три партії з шести (нічиї до уваги не беруться)?

Розв’язування

Грають рівносильні шахісти, тому ймовірність виграшу відповідно ймовірність програшу теж дорівнює . За допомогою формули Бернуллі знайдемо ймовірності виграшу двох партій з чотирьох і трьох партій з шести:

Отже, P₄(2)>P₆(3).

3. 20% всіх риб у ставку складають карасі. Знайти ймовірність того, що серед 400 виловлених риб буде рівно 80 карасів.

Розв’язування

За умовою n = 400; k = 80; p = 0,2; q = 0,8. Скориставшись формулою (6.3), маємо

Обчислимо значення аргументу х

За допомогою таблиці з додатку 1 знаходимо

Шукана ймовірність

Точні підрахунки за формулою Бернуллі дають

4. Ймовірність того, що телевізор не пройшов передпродажну перевірку дорівнює р=0,2. Знайти ймовірність того, що серед 400 телевізорів, що є на складі, не перевірено від 70 до 100.

Розв’язування

За умовою n = 400; k₁ = 70; k₂ = 100; p = 0,2; q = 0,8.

Скориставшись формулою (6.5), маємо

Обчислимо нижню і верхню границі інтегрування

Таким чином

За допомогою таблиці з додатку 2 знаходимо

Ф(2,50) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944.

Шукана ймовірність

5. На кондитерській фабриці для святкових дитячих подарунків відібрано порівну цукерки чотирьох найменувань А, Б, В, Г та розфасовано навмання у коробки по 8 цукерок у кожну. Яка ймовірність того, що в навмання вибраній коробці буде одна цукерка найменування А?

Розв’язування

Нехай подія С – “в коробку попаде одна цукерка найменування А”. Ймовірність того, що ця подія С в п = 8 незалежних випробуваннях відбудеться k = 1 раз, знаходимо за формулою Бернуллі:

.

Оскільки цукерок чотирьох даних найменувань однакова кількість, то подія А у кожному випробуванні може з’явитися зі сталою ймовірністю звідки маємо

Таким чином, остаточно отримаємо

6. За фенотипом діти карооких і кучерявих батьків, якщо вони гетерозиготні за цими ознаками (кара окість домінує над блакитно окістю, а кучерявість – над прямоволосістю), можуть бути чотирьох типів: 1) кароокі кучеряві з ймовірністю , 2) кароокі прямоволосі з ймовірністю , 3) блакитноокі кучеряві з ймовірністю , 4) блакитноокі прямоволосі з ймовірністю . Припустимо у таких батьків народилося 5 дітей (без двійнят). Знайти ймовірність того, що серед цих дітей:

а) двоє першого типу;

б) хоча б один блакитноокий і прямоволосий;

в) хоча б один блакитноокий.

Розв’язування

Оскільки народження окремих дітей можна вважати незалежними подіями, то можна використати схему Бернуллі. Нехай подія А – “дитина кароока кучерява”. Ймовірність того, що ця подія n = 5 в незалежних випробуваннях відбудеться k = 2 рази, знаходимо за формулою Бернуллі:

Нехай подія В – “дитина блакитноока і прямо волоса”. Ймовірність того, що подія В з’явиться хоча б один раз в n випробуваннях, зручно обчислювати за формулою

P_n (m ³ 1) = 1 – q².

Отже, маємо

Нехай подія С – “дитина блакитноока”. В цьому випадку . За тією ж формулою знаходимо, що ймовірність того, що серед 5 дітей хоча б одна дитина блакитноока дорівнює

7. Ймовірність виграшу на один лотерейний білет дорівнює 0,3. Куплено 10 білетів. Знайти ймовірність події А – “2 білети виграшні”, найвірогідніше число білетів, які виграшні, і відповідну ймовірність.

Лекція 7. ДИСКРЕТНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ