Дәріс. Кеңістік фигураларын кескіндеу әдістері. Көпжақтарды кескіндеу әдістері.

Ал стереометриялық фигураларды кескіндеу Польке-Шварц теоремасына (бар болудың екінші теоремасы) негізделеді.

Теорема: А^/В^/С^/D^/ тетраэдрінің қандай да бір жазықтықтағы проекциясы ретінде диагональдарымен бірге алынған АВСD төртбұрышын қарастыруға болады.

Мұндай еркін параллель проекциялау негізінде алынған кескіннен түпнұсқаны қайта құрастыру мүмкін емес, мектеп геометриясында оны орындау талап етілмейді.

Орта мектептегі есеп шығару барысында орындалатын

проекциялық сызбалардағы фигуралар кескініне мынадай талаптар қойылады:

1. Кескін дұрыс болуы керек, яғни түпнұсқаның параллель проекциясына ұқсас фигураны беруі керек.

2. Кескін мүмкіндігінше көрнекі болуы, яғни түпнұсқаның формасы туралы кеңістіктік түсінік беретіндей болуы қажет.

3. Кескін оңай орындалатын болуы, яғни салу ережелері барынша қарапайым болуы керек. Көмекші салулардың көптігі, тек есептің мазмұнын түсінуді қиындатады.

Дұрыс кескін және көрнекі кескін әр түрлі ұғымдар. Кескіннің дұрыстығы қатаң анықталатын математикалық ұғым болып табылады, ал кескіннің көрнекілігі ұғымы кескінделген фигураны әркімнің жеке қабылдау ерекшеліктеріне байланысты болғандықтан, субъективті ұғымдар қатарына жатады. Мысалы, мына 80-суреттегі кескіндердің бәрі кубтың дұрыс кескіндері болғанымен, бізге 80,в-суреттегі кубтың кескіні көрнекі болып көрінеді.

Демек, кескін дұрыс болуы үшін оны параллель проекцияның қасиеттеріне сәйкес салу жеткілікті екен. Кескіннің дұрыстығы ұғымы, оның позициялық толықтығы (немесе жай ғана толықтығы) ұғымымен де тығыз байланысты. Ф фигурасының проекциялық сызбасында оның әрбір А нүктесі бейнеленген болса, онда фигураның кескіні толық деп аталады. Мысалы, 80,а,ә-суреттердегі куб кескіндері толық емес. Өйткені, куб кескініндегі көп элементтер беттесіп кеткен. Егер Ф фигураның кескіні толық болса, онда фигура кескінінде кез келген позициялық есеп орындалады. Яғни, дербес жағдайда фигураның кез келген жазықтықпен қиғандағы қимасын салуға болады.

Олай болса, көпжақтар кескініне қойылатын талаптарды мына төмендегідей шартты схема түрінде бейнелеуге болады.

Кеңістік фигурасын (денесін) кескіндеу “Бар болудың екінші теоремасына” негізделеді. Бұл теорема бойынша кеңістік фигурасының базистік төрт нүктесі таңдалып алынып, бейнелеу жазықтығына кескінделеді. Базистік нүктелердің әрбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын, түпнұсқаның әртүрлі жазықтықта жатқан төрт нүктесі болуы керек. Осы базистік төрт нүкте еркін түрде кескінделгеннен соң бейнелеу жазықтығындағы әрбір нүкте бір мәнді анықталады да, кеңістік денесінің басқа нүктелерін еркін түрде кескіндеуге болмайды. Басқа нүктелердің кескіндері параллель проекциялау қасиеттерінің негізінде салынады.

Көпжақтарды кескіндеу оның төбелері мен қырларын кескіндеуге келтіріледі. Кейде сызбаның көрнекілігі үшін оның биіктігі мен басқа да сызықтарының кескіні салынады.

Кескінді салудың жалпы әдістерін жеңілдету үшін, оның базистік нүктелері тиімді таңдалып алынып кейбір жеке элементтерін кескіндеу ыңғайлы бір ретпен орындалуы қажет.

Базистік нүктелерді мұндай етіп таңдау кеңістік денесінің басқа да элементтерін кескіндеу ретін тиімді орындауға мүмкіндік береді. Яғни, табанынан алынған базистік үш нүкте негізінде, біріншіден кеңістік денесінің табаны кескінделеді. Содан соң төртінші базистік нүкте арқылы көпжақтардың басқа да төбелері және қырлары кескінделсе, ал айналу денелерінің жасаушыларының кескіні салынады.

Көпжақтардың, цилиндр мен конустың кескінін салу кезінде біріншіден оның табанының кескіні салынады. Оны кескіндеу бұған дейінгі қарастырылған жазық фигуралардың кескін салу теориясының негізінде орындалады. Яғни, көпжақ табаны дұрыс үшбұрыш, тең бүйірлі үшбұрыш, тік бұрышты үшбұрыш болғанда оның табанын «бар болудың бірінші теоремасы» негізінде кез келген үшбұрыш етіп саламыз. Ал табаны параллелограмм, тіктөртбұрыш, ромб, квадрат болған жағдайда оның табанының кескінін базистік үш нүкте негізінде еркін түрде параллелограмм етіп саламыз. Ал көпжақ табаны трапеция болғанда оның кескінін трапеция етіп саламыз. Конус пен цилиндрді кескіндегенде оның табанын бірден эллипс етіп саламыз.

Фигураның кескінін салуға қойылатын талаптардың орындалуын қамтамасыз ету мақсатында төртінші базистік нүктені бірден кескіндемей, табанының кескіні салынғаннан соң кескіндеген тиімді болады.

Мысалы, конустың кескінін салу үшін бірден төрт базистік нүктесін белгілеп алып, оның кескінін салайық. Алынған кескіннің, фигура кескініне қойылатын талаптарға (кескіннің дұрыстығы, кескіннің көрнекілігі, кескіннің оңай орындалатын болуы) сай болуына талдау жасайық. Ол үшін базистік нүкте ретінде конус табанынан үш және төбесінен бір нүкте аламыз (82,а-сурет).

Осы базистік нүктелердің табанында жатқан А, В, С нүктелерін бастыра эллипс жүргіземіз. S төбесінен осы эллипске жанамалар жүргіземіз (82,ә-сурет). Алынған сызба конустың дұрыс, бірақ көрнекі емес кескінін береді.

Олай болса, кеңістік денелерін кескіндеуде базистік нүктелерді еркін түрде алу дұрыс, бірақ көрнекі емес кескін алуға алып келуі мүмкін екен. Осы талаптарды мүмкіндігінше сақтау мақсатында кейбір кеңістік денелерінің кескіндерін салуға жеке тоқталамыз.