V. Бинарная операция “·” коммутативная.

Задача 15

Варианты 1 – 35.Выясните, образует ли кольцо, область целостности, тело, поле относительно действий (!) сложения и умножения множество К ?

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6. множество квадратных матриц 2-го порядка над полем R.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12. множество целых чисел, кратных n.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15. множество квадратных матриц n -го порядка над полем R.

Вариант 16. .

Вариант 17.

Вариант 18.

Вариант 19.

Вариант 20.

Вариант 21.

Вариант 22.

Вариант 23. множество целых чисел, кратных 3.

Вариант 24. множество квадратных матриц 3-го порядка над полем R.

Вариант 25.

Вариант 26.

Вариант 27.

Вариант 28.

Вариант 29.

Вариант 30.

Вариант 31.

Вариант 32.

Вариант 33.

Вариант 34.

Вариант 35.

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Кольцо

Пусть на непустом множестве К определены две бинарные операции “ ” и “ ” .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Алгебра Ê = (К ; , ) типа (2,2) называетсякольцом, если выполняются следующие условия:

I. алгебра (К ; ) – абелева группа;

II. алгебра (К ; ) – полугруппа;

III. бинарная операция “ ” двоякодистрибутивна относительно бинарной операции “ ” .

Условия I - III называются аксиомами, определяющими кольцо, или аксиомами кольца.

Предложения, относящиеся к аксиомам, выражаются в подробном виде так:

I. К1. ( а, b, c К )[(а b ) с= а ( b с )].

К2. ( е К)( а К)[ е а = а е = а].

К3. ("а К )( s (а) К)[s (а) а = а s (а) = е].

К4. ( а, b К )[ а b = b а].

II. К5. ( а, b, с К)[(а b ) с = а (b с )].

III. К6. ( а, b, с К)[(а b ) с =(а с) ( b с) _^ а ( b с ) = (а b ) (а с)].

Кроме того, если выполнено условие

III. К7. ( а, b К )[а b = b а],

то кольцо Ê называется коммутативным.

В отличие от групп, коммутативное кольцо не принято называть абелевым. Вообще, любое определение, стоящие перед словом “кольцо”, характеризует свойство бинарной операции “ ” ; говоря о регулярных, обратимых или центральных элементах, или центре кольца Ê, имеют ввиду регулярность, центральность относительно заданной в нем бинарной операции “ ” .

В положениях и в общей теории колец рассматриваются алгебры, в которых аксиома К5 либо совсем устраняется, либо заменяются другой- в зависимости от конкретных задач. В таких случаях говорят о неассоциативных кольцах. Пока у нас будут только обычные ассоциативные кольца.

Если бинарная операция “ ” в кольце Ê обладает нейтральным элементом, то он называется единичным элементом или единицей кольца и часто обозначается через 1_Ê.

Существование 1_Ê часто вносится в определение кольца, но мы делать этого не будем.

Кольцо Ê называется конечным (бесконечным), если основное множество конечно К (бесконечное).

Кольцо Ê называется нулевым, если К = {0}.

Кольцо Ê, элементами которого являются числа, называется числовым кольцом.

Чаще всего, коммутативную групповую бинарную операцию “ ” в кольце Ê записывают аддитивно, т.е. через «+» , а вторую бинарную операцию “о” – мультипликативно, т.е. через «×». Тогда аксиомы К1 – К6 кольца Ê = (К ; + , ×) записываются следующим образом :

I. К1. ( а, b, с К )[ (a + b)+ c= а + ( b + с) ].

К2. ( 0 К )( а К )[0+ а = а + 0 = а ].

К3. ( а К )( (-а) К )[ а + ( -а ) = ( -а ) + а = 0 ].

К4. ( а, b К )[ а + b = b + а ].

II. К5. ( а, b, с К )[ ( а ^. b ) ^. c = a ^. ( b ^. c ) ].

III. К6. ( а, b, с К )[ ( а + b ) ^. c = a ^. с + b ^. c _^ а ^. ( b + c ) =

=а ^. b + a ^. с ].

В частности при этом приняты следующие определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Группа ( К ; + ) называется аддитивной группой кольца Ê= (К ; + , ×). Нуль этой группы называется нулем кольца Êи обозначается через 0_Ê или просто 0 (если нет опасности путаницы).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если кольцо Ê= (К ; + , ×) - кольцо с единицей 1_Ê , то моноид ( К ; 1_k ) называется мультипликативным моноидом кольца Ê. Элемент 1 называется единицей кольца.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Кольцо Ê называют коммутативным, если умножение коммутативно, т.е.

V. К7. ( а, b К )[ а × b = b × а ].

Замечание. Для обычных операций сложения и умножения во всех основных числовых множествах N, Z, Q, R, C, К1, К4, К5, К6, К7 выполняются, поэтому для исследования числового множества К на кольцо достаточно проверить в нем выполнение аксиом К2, К3.

РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

Примеры 1 – 10

1. Алгебры ( N ; + , × ) ,( Z_неч ; +, × ) не образуют кольцо, т. к. не выполнены аксиомы К2, К3.

2. Z = ( Z; +, × ) - бесконечное коммутативное кольцо с еди­ницей.

3. Z_ч = ( Z_ч; +, ×) - бесконечное коммутативное кольцо без единицы.

4. Q = ( Q ; +, × ) - бесконечное коммутативное кольцо с единицей.

5. R = ( R ; +, × )- бесконечное коммутативное кольцо с единицей.

6. Обозначим через Q [ ] = {q₁ + q₂ | q₁, q₂ Q }, тогда

Q [ ] = (Q [ ] ; +, × ).- бесконечное коммутативное кольцо с единицей 1. В этом убеждаются непосредственной проверкой аксиом К1 – К7. При этом 1_Q = 1+ ^. 0, а для числа q₁+ q₂ противоположными является (-q₁ ) + ( - q₂ ).

7. 0= ( { 0 } ; +, × ) - нулевое кольцо.

8. R[ x ]= ( R[ x ]; +, × ) - бесконечное коммутативное кольцо с единицей многочленов от одной вещественной переменной x с вещественными коэффициентами.

9. Кольцо классов вычетов. Пусть Z – множество целых чисел, m – фиксированное натуральное число, отличное от 1, Введем на Zбинарное отношение p следующим образом

( z₁ , z₂ Z )[z₁r z₂< = > ( a – b ) m ] (1)

В параграфе « отношение эквивалентности » мы показали, что введенное таким образом бинарное отношение r является отношением эквивалентности. По теореме о разбиении, множество Z разбивается на классы эквивалентности

= {mk | k Z}, ={mk + 1 | k Z}, … , ={mk +(m+1) | k Z},

которые называются классами вычетовпо модулю m . Обозначим через Z_m={ ; ; … ; }.

Можно вполне естественным образом определить сложение и умножение классов вычетов.

( , Z_m) [ ] ,

( , Z_m) [ ]

или

(- )= , = , где , = mq +r , 0 r < m .

после введения операций сложения и умножения для классов как элементов, алгебра Z_m становится кольцом и называется кольцом классов вычетов по модулю m или фактор - кольцом кольца Z= (Z; + ; ×) по отношению сравнения по модулю m.

Роль 0_Ê играет класс , состоящий из чисел, нацело делящихся на m.

Противоположным классом для класса будет класс - .

Класс вычетов является 1_k; кроме того = .

Итак, Zm= (Z_m ; + , ×) - конечное (порядка m ) коммутативное кольцо с единицей.

10. Кольцо квадратных матриц 2-го (3-го) порядка ( M_{2 2} ; + , ×).

Тела, поля

Если Ê = (К;+, ·) – кольцо, то операция “+” – обратимая. Об обратимости операции “·” в определении кольца не говорится. Различные кольца по отношению к обратимости “·” имеют различные свойства. Так, например, в кольце (R;+, ·) обратная операция к умножению – деление выполняется для любых элементов, кроме 0; в кольце (Z;+, ·) деление выполнимо только в исключительных случаях.

Важную роль в математике играют коммутативные кольца, в которых операция “·” обратимая. Их называют полями.

Определение 1. Элемент а кольца К называется обратимым элементом кольца, если в кольце существует такой элемент в, что а·в=в·а=1_К . При этом элементы а и в называются взаимообратными.

Определение 2. Коммутативное кольцо P=(P;+, ·), в котором вторая бинарная операция “·” обратимая, называется полем.

Следовательно, для поля Р выполнены следующие условия:

I. Р;+, ·) – абелевая группа;

II. (Р; ·) – полугруппа;

III. Бинарная операция “·” двоякодистрибутивна относительно бинарной операции “+”;

IV.Бинарная операция “·” обратимая;

V. Бинарная операция “·” коммутативная.

Предположения I – V, относящиеся к условиям поля, выражаются тождествами:

I. Р1.

P2.

P3.

P4.

II. P5.

III. P6.

IV. P7.

V. P8.

Условия Р1 – Р8 называются аксиомами поля.

Определение 3. Группа (Р;+) называется аддитивной группой поляÐ.Нуль этой группы называется нулем поля и обозначается или просто Q (если нет опасности путаницы).

Поле, элементами основного множества которого являются числа, называется числовым полем. Для всех числовых множеств при проверке аксиом поля достаточно проверить выполнение аксиом Р2,Р3,Р7, так как аксиомы Р1,Р4,Р5,Р6,Р8 всегда выполняются.

Примеры 1- 5

1. (N;+,×) – не является полем, так как не выполняются аксиомы Р2, Р3, Р7.

2. (Q;+,×) – не является полем, так как для 0 не существует обратного числа (то есть аксиома Р7 нарушается).

3. (Q^*=Q\ ;+,×) – поле.

4. (R;+,×) – не является полем, так как не выполняется аксиома Р7, а (R=R^*\{0};+,×) – поле.

5. Покажем, что Q[ ]=(Q[ ]= ;+,×) является полем. Пусть – произвольные числа из множества Q[ ]. Тогда

так как q₁+q₁^/, q₂+q₂^/, q₁q₂^/+3q₂q₂^/, q₁q₂^/+q₂q₁^/ – рациональные числа. Следовательно, сложение и умножение на множестве Q[ ] являются алгебраическими операциями.

Проверим выполнение аксиом Р2, Р3, Р7.

Р2. В качестве Q выступает число 0+0 , то есть аксиома Р2 выполняется.

Р3. Аксиома Р3 разрешимости уравнения a+х=a^/ в подробном виде записывается так:

Единственным решением этого уравнения является число:

Так как разность двух рациональных чисел – число рациональное, то числа х₁=q1^/-q₁ и х₂=q₂^/-q₂ рациональны и . Следовательно, вычитание во множестве Q[ ] всегда возможно и однозначно, то есть аксиома Р3 выполняется.

Р7. Выясним разрешимо ли в Q[ ] уравнение

a×x=a (*)

при a¹. Решая уравнение (*), находим

Если , то полученное число х имеет вид х₁+ х₂, где х₁,х₂ – рациональные числа, то есть решение уравнения (*) принадлежит Q[ ].

Покажем, что . Во – первых, ясно, что если одно из чисел q₁ ,q₂ равно нулю, а другое отлично от нуля, то . Поэтому необходимо рассмотреть случай, когда q₁¹ ,q₂¹ . Если в этом случае , то и , то есть число 3 является квадратом рационального числа, что невозможно. Итак, , если . Следовательно, уравнение (*) разрешимо в Q[ ] и Q[ ] есть поле.

6. Выясним, образует ли поле относительно операций сложения и умножения матриц, множество Пусть А, В – любые матрицы из множества . Тогда то есть А+В и А×В принадлежат множеству . Значит, сложение и умножение матриц из являются алгебраическими операциями. Эти операции обладают свойствами Р1,Р2,Р4,Р6, ибо эти свойства имеют место при сложении и умножении любых матриц. Легко видеть, что для матриц из выполняются так же свойства Р3 и Р8:

Следовательно, ( ;+,×) – кольцо.

Выясним, является ли ( ;+,×) – полем, то есть разрешимо ли в уравнение

АХ=В (**),

где В – любая, а А – ненулевая матрица из . Для разрешимости этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной. Пусть . Так как A¹0, то хотя бы одно из чисел а, в отлично от нуля. . Отсюда видно, что определитель матрицы А может равняться нулю и в том случае, когда одно из чисел а, в отлично от нуля, то есть матрица А может быть ненулевой и в то же время вырожденной. Такими являются матрицы вида: и , где числа а и в отличны от нуля. В том случае, когда матрица А имеет такой вид, уравнение АХ=В неразрешимо.

Следовательно, ( ;+,×) полем не является.