Бинарная алгебраическая операция (БАО)

Например:

2 ∙ 3, 3 ∙ 5 и т.д.

Определение:

Говорят, что на множестве M (менге) задано БАО*(все операции), если любым 2-мa,bϵM (может быть a=b) по некоторому закону сопоставляется вполне определенный элемент a*bиз этого же множества.

3^о. Деление является частичными БАО на числовых множествах N, N₀, Z, Q, R, т.к. иногда результата нет. Вычитание не бинарное.

-5 – 2 = -7

-5 – (-3) = -2

4^о. На N₀

0 * 12 = 02 (частичная БАО)

Унарная алгебраическая операция (УАО)

Например:

2; -2, 5; -5, 0; 0 и т.д.

Замечание:

Если всё, как в 1-м определении, но вместо «любым 2-м» звучит «любому элементу a», то говорят, об унарной алгебраической операции (УАО).

2^о. На R нахождение обратного числа: для 2 – ½, для ¹/₃ – 3, для П – 1/п.

А вот на R₀ (0 – ¹/₀) частичная УАО.

Если 1 ответ – УАО

Если нет ответа – частичная УАО

Высказывания. Простые и составные. Равные высказывания.

Таблицы истинности и их применение. Тавтологии.

Высказывание – это предложение, истинность которого может быть установлена.

Например: 6∙2=4, «Мы все люби математику», «Я съем кашку и/или выпью молочко»

Высказывания бывают простые (6∙2=4) и сложные («Я съем кашку и/или выпью молочко»).

ВысказыванияА=В, если у этих высказываний одинаковые таблицы истинности

Таблица истинности перечисляет все возможные комбинации истинности и ложности сложных высказываний.

Таблицы истинности применяются для:
- вычисления истинности сложных высказываний;
- установления эквивалентности высказываний;
- определения тавтологий.

Высказывание, истинное во всех случаях, называется логически истинным, или тавтологией. Теоремы в математике являются примерами тавтологий.

Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание А↔В с таблицей истинности:

А	В	А↔В	БАО
и	и	и
и	л	л
л	и
л	л	и

Теорема о ее свойствах:

1. А↔В= В↔А

2. (А↔В)↔С=А↔(В↔С)

3. А↔А=и

4. А↔и=А

5. А↔л=А

Операция над высказываниями: дизъюнкция, конъюнкция, отрицание (УАО), импликация, разделительная дизъюнкция и их свойства.

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А v В с таблицей истинности:

А	В	А v В	БАО на множестве всех высказываний
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

Теорема о свойствах v:

Всегда

1. А v В=В v А (коммутативность)
2. (А v В) v С=А v (В v С) (ассоциативность)
3. АvА=А
4. Аvи=и (истиннопоглощающий элемент)
5. Аvл=А(ложьнейтральный элемент)

Доказательство:

1.

А	В	А v В	В v А
и	и	и	и
и	л
л	и
л	л	л	л

2.

А	В	С	(А v В)	Л.ч. равенства	(В v С)	П.ч. равенства
и	и	и	и	и	и	и
и	и	л
и	л	и
л	и	и
л	л	л	л	л	л	л
л	л	и	л	и	и	и
л	и	л	и
и	л	л	л

3,4,5

А	АvА	Аvи	Аvл
и	и	и	и
л	л	и	л

Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А ^ В с таблицей истинности

А	В	А ^ В	БАО на множестве всех высказываний
и	и	и
и	л	л
л	и
л	л

Теорема о свойствах ^:

Всегда

1. А ^ В= В ^ А
2. (А ^ В) ^С= А ^(В ^ С)
3. А^ А=А
4. А^ л=А
5. (А v В)^С=(А^ С) v (В^С)
6. (А v В)^С=А^ С vВ^С
7. (А^ В) v С=(А v С) ^ (В v С)
8. (А v В)^А=А
9. (А v В)^В=А

Доказательство:

1.

А	В	А ^ В	В ^ А
и	и	и	и
и	л	л	л
л	и
л	л

2.

А	В	С	(А ^ В)	Лчр 2	(В ^ С)	Пчр 2
и	и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	л	л	л
и	л	и	л
л	и	и	и
л	л	л	л
л	л	и
л	и	л
и	л	л

3,4

А	АvА	Аvл
и	и	л
л	л	л

7.

А	В	С	А ^ В	Лчр 7	АvС	Пчр 7
и	и	и	и	и	и	и
и	и	л
и	л	и	л
л	и	и
л	л	л	л	л	л
л	л	и	и	и	и
л	и	л	л	л	л
и	л	л	и

8.

А	В	А v В	ЛЧР 8
и	и	и	и
и	л	и	и
л	и	и	л
л	л	л	л

Отрицанием высказывания А называется высказывание А (с черточкой) (не А)

Примеры: «неверно что, я съем кашку», «я не выпью молочко»

Теорема и ее свойства:

1. A (с 2-мя чертами) – двойное отрицание

А(с 2-мя чертами)=А

А (с чертой) = (А(с чертой))

Инволютивность

2. Законы де Моргана

А v В=А ^ В

А ^ В=А v В

1. Обобщенные законы де Моргана

А v В^С=А ^ Вv С

А v( В^С)=А ^ (Вv С)

Доказательство:

3.

А	В	А	В	А ^ В	ЛЧ 3	ПЧ 3
и	и	л	л	и	л	л
и	л	л	и	л	и	и
л	и	и	л
л	л	и	и

Импликацией высказываний А и В называется высказывание А →В (если а, то В) с таблицей истинности:

А	В	А →В	БАО
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

Теорема о ее свойствах:

1.А →В=А vВ

2.А →В= В→А

3.В →А= А →В

4.А →В=А ^ В

Доказательство:

А	В	А →В	А	В	А vВ	В →А	А →В	А ^ В
и	и	и	л	л	и	и	л	л
и	л	л	л	и	л	л	и	и
л	и	и	и	л	и	и	л	л
л	л	и	и	и	и	и	л	л

Докажем 4 иначе:

л.ч= А→В= А→В=А ^ В=А ^ В=A^ B= п.ч.